空间曲线几何hermite插值问题的分析

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1、致谢时光如梭，研究生生活即将结束，回首两年多的修业历程，我要对那些引导我、勉励我、帮助我的人，表示衷心的感谢。首先，要衷心的感谢我的导师檀结庆教授，感谢檀老师在我攻读硕士的三年时间里对我的谆谆教导。在学业上，无论是课程的学习，还是论文的选题和论文的成稿，都得到了檀老师的悉心指导。在生活和思想上，檀老师给予我无微不至的关怀。檀老师敏锐的科学洞察力、渊博的知识、严谨的治学作风和豁达的处世之道给我留下了深刻的印象，并将成为我以后学习和工作中的楷模。还要感谢朱功勤教授、林京教授、邬弘毅教授、苏化明教授、唐烁教授、黄有度教授、朱晓临教授、郭清伟副

2、教授和江平副教授，各位老师在我学习的阶段传道、授业、解惑，他们渊博的知识和高尚的师德都给我留下了深刻的印象!衷心的感谢各位老师。感谢我的各位师兄师姐的关心与帮助。感谢计算数学专业的全体同学，大家共同学习和成长，一起度过了令人难忘的两年多时光。最后，感谢我的家人在我研究生学习阶段对我生活上的帮助和精神上的支持，正是有了家人的无私帮助和奉献，才能让我全身心的投入到学习当中。作者：历莉2010年3月第一章绪论1．1CAGD中曲线造型的研究背景计算机辅助几何设计(ComputerAidedGeometricDesign，简写为CAGD)是涉及计

3、算机科学和数学的一门新兴的边缘学科，主要研究在计算机的图像系统环境下对曲线曲面信息的表示、逼近、分析和综合。虽然CAGD所用的很多理论工具可以追溯到百年以前，但是这门新学科的雏形却形成于二十世纪六十年代末期。现在CAGD与代数几何、逼近论、数值分析、微分方程等数学的多个分支以及计算机图形学、几何造型【lqj、外形检测和数控技术等边缘学科广泛结合。随着计算机科学技术的不断发展，CAGD的应用从飞机，船舶，汽车设计，扩展到计算机视觉、动画制作、军事作战模型、地形外貌、多媒体技术等领域，越来越广泛的渗透到社会生活的各方面。曲线曲面造型是计算机

4、辅助几何设计(CAGD)的一项重要内容，主要研究在计算机的图像系统环境下对曲线曲面表示、设计、显示和分析。其研究的主要问题是如何使用计算机表示，这要满足两点：一是既适合计算机处理又能有效地满足形状表示与几何设计要求，二是找到一种便于形状信息传递和产品数据交换的形状描述的数学方法。(文献[5】)在1963年，美国波音飞机公司的Fergusont6J提出了用参数的矢函数方法表示曲线曲面，引入了参数三次曲线。当用参数多项式构造插值的时候，可以采用不同的基函数，这样通过不同的基函数构造的曲线具有不同的优缺点。Ferguson还根据四个角点的位置

5、矢量和两个方向的切矢构造了双三次曲面片，因而使得曲线曲面的参数化形式成为形状数学的标准形式。1964年美国麻省理工学院的Coons提出了自由型曲面设计方法之一的Coons方法，在当时被广泛的应用于CAD／CAM中。Coons方法理论严密，描述能力强，对自由曲面造型技术的发展具有十分深远的意义。1946年Schoenber917J提出了样条函数方法，将其与曲线、曲面的参数表示方法相结合，就可构造参数样条，它可以解决插值问题，特别对构造整体达到某种参数连续阶的插值曲线曲面很方便，因此能够解决许多实际生产问题，在航空、船舶中有很多的应用。但这

6、种方法不存在进行局部形状调整的自由度，而且样条曲面的形状难以预测。l971年法国雷诺汽车公司的工程师B6zier提出一种由控制多边形设计曲线的新方法，这种方法简单易用，并且改善了样条函数方法上的不足，使用户能够很方便地实现曲线形状的修改。这推进了曲线曲面的设计的发展，为曲线曲面造型的进一步发展奠定了坚实的基础。但B6zier方法仍然存在问题。当曲线或曲面的形状复杂时，需要增加特征多边形的顶点个数，从而使曲线或曲面的次数增高。而且B6zier曲线与定义它的控制多边形相距很远，改变特征多边形的某一个顶点将影响整条曲线。到了七十年代，de．B

7、oor的一系列工作建立了有关B样条比较完善的理论，使得B样条在“初等函数"中占有重要地位。B样条方法继承了B6zier方法的所有优点，克服了B6zier方法存在的缺点，比较成功地解决了局部控制问题，又轻松地在参数连续性基础上解决了连接问题，从而较成功的解决了自由型曲线曲面形状的描述问题。另外，B样条函数具有很多优秀的性质。B样条曲线或曲面由于具有形状局部可调性和连续阶可调性，从而逐步成为几何造型方面的核心技术。并且在许多的生产实际领域都得到了广泛的应用。1．2本文研究的背景在曲线曲面的构造过程中，通常是利用已知点的函数值及导数值来构造插

8、值函数，实现对原图形的逼近。由文献【8】可知函数的插值与逼近理论主要研究的是如何运用某些给定的信息，使得某个比较复杂的函数．厂(x)(已知或未知)可以用较简单的函数p(x)表示，并且二者在某种意义下的偏差满