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《2015届高考理科数学第一轮总复习教案41》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、§5.3 平面向量的数量积1.平面向量的数量积已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,则数量
2、a
3、
4、b
5、cosθ叫做a和b的数量积(或内积),记作a·b=
6、a
7、
8、b
9、cosθ.规定:零向量与任一向量的数量积为__0__.两个非零向量a与b垂直的充要条件是a·b=0,两个非零向量a与b平行的充要条件是a·b=±
10、a
11、
12、b
13、.2.平面向量数量积的几何意义数量积a·b等于a的长度
14、a
15、与b在a的方向上的投影
16、b
17、cosθ的乘积.3.平面向量数量积的重要性质(1)e·a=a·e=
18、a
19、cosθ;(2)非零向量a
20、,b,a⊥b⇔a·b=0;(3)当a与b同向时,a·b=
21、a
22、
23、b
24、;当a与b反向时,a·b=-
25、a
26、
27、b
28、,a·a=a2,
29、a
30、=;(4)cosθ=;(5)
31、a·b
32、__≤__
33、a
34、
35、b
36、.4.平面向量数量积满足的运算律(1)a·b=b·a(交换律);(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(λ为实数);(3)(a+b)·c=a·c+b·c.5.平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2,由此得到(1)若a=(x,y),则
37、a
38、2=
39、x2+y2或
40、a
41、=.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则A、B两点间的距离
42、AB
43、=
44、
45、=.(3)设两个非零向量a,b,a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b⇔x1x2+y1y2=0.1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量,而不是向量.( √ )(2)两个向量的数量积是一个实数,向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.( √ )(3)△ABC内有一点O,满足++=0,且·=·,则△ABC一定是等腰三角形.( √ )(4)在四边
46、形ABCD中,=且·=0,则四边形ABCD为矩形.( × )(5)两个向量的夹角的范围是[0,].( × )(6)已知a=(λ,2λ),b=(3λ,2),如果a与b的夹角为锐角,则λ的取值范围是λ<-或λ>0.( × )2.(2012·陕西)设向量a=(1,cosθ)与b=(-1,2cosθ)垂直,则cos2θ等于( )A.B.C.0D.-1答案 C解析 利用向量垂直及倍角公式求解.a=(1,cosθ),b=(-1,2cosθ).∵a⊥b,∴a·b=-1+2cos2θ=0,∴cos2θ=,∴cos2θ
47、=2cos2θ-1=1-1=0.3.已知向量a,b的夹角为60°,且
48、a
49、=2,
50、b
51、=1,则向量a与向量a+2b的夹角等于( )A.150°B.90°C.60°D.30°答案 D解析
52、a+2b
53、2=4+4+4a·b=8+8cos60°=12,∴
54、a+2b
55、=2,a·(a+2b)=
56、a
57、·
58、a+2b
59、·cosθ=2×2cosθ=4cosθ,又a·(a+2b)=a2+2a·b=4+4cos60°=6,∴4cosθ=6,cosθ=,θ∈[0°,180°],∴θ=30°,故选D.4.在△ABC中,=1,=
60、2,则AB边的长度为( )A.1B.3C.5D.9答案 B解析 表示在方向上的单位向量.设△ABC各边分别为a,b,c,则=b·cosA=1,同理,=a·cosB=2.由余弦定理可得解方程组得c=3或0(舍).故选B.5.已知a=(2,3),b=(-4,7),则a在b方向上的投影为______.答案 解析 设a和b的夹角为θ,
61、a
62、cosθ=
63、a
64、===.题型一 平面向量数量积的运算例1 (1)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,则·等于( )A.-16B.-8C.8D.16(2)(2012·
65、北京)已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则·的值为________;·的最大值为________.思维启迪 (1)∠C=90°,可选取向量,为基底表示向量或者利用数量积的几何意义;(2)建立坐标系求向量的坐标,也可利用数量积的几何意义.答案 (1)D (2)1 1解析 (1)方法一 ·=(-)·(-)=-·+2=16.方法二 ∵在方向上的投影是AC,∴·=
66、
67、2=16.(2)方法一 以射线AB,AD为x轴,y轴的正方向建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(
68、0,1),设E(t,0),t∈[0,1],则=(t,-1),=(0,-1),所以·=(t,-1)·(0,-1)=1.因为=(1,0),所以·=(t,-1)·(1,0)=t≤1,故·的最大值为1.方法二 由图知,无论E点在哪个位置,在方向上的投影都是CB=1,∴·=
69、
70、·1=1,当E运动到B点时,在方向上的投影最大即为DC=1,∴(·)max=
71、
72、·1=1.思维升华 求两个向量的数量积有三种方法:利用定义;利用向量的坐标运算;利用数量积的几何