2015届高考理科数学第一轮总复习教案38

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1、§4.6　正弦定理、余弦定理及解三角形1．正弦、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容＝＝＝2Ra2＝b2＋c2－2bccos_A；b2＝c2＋a2－2cacos_B；c2＝a2＋b2－2abcos_C变形(1)a＝2RsinA，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；(2)sinA＝，sinB＝，sinC＝；(3)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝

2、csinAcosA＝；cosB＝；cosC＝2.S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R、r.3．在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinAb解的个数一解两解一解一解4.实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)．(2)方向角：相对于某正方

3、向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等．(3)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在△ABC中，A>B必有sinA>sinB．(　√　)(2)若满足条件C＝60°，AB＝，BC＝a的△ABC有两个，那么a的取值范围是(，2)．(　√　)(3)若△ABC中，acosB＝bcosA，则△ABC是等腰三角形．(　√　)(4)在△ABC中，tanA＝a2，ta

4、nB＝b2，那么△ABC是等腰三角形．(　×　)(5)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.(　×　)2．(2013·湖南)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b，若2asinB＝b，则角A等于(　　)A.B.C.D.答案　D解析　在△ABC中，利用正弦定理得2sinAsinB＝sinB，∴sinA＝.又A为锐角，∴A＝.3．(2013·陕西)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状

5、为(　　)A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定答案　B解析　由bcosC＋ccosB＝asinA，得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，即sin(B＋C)＝sin2A，所以sinA＝1，由0

6、n120°cosC－2cos120°sinC)＝2(sinC＋cosC＋sinC)＝2(2sinC＋cosC)＝2sin(C＋α)，其中tanα＝，α是第一象限角，由于0°＜C＜120°，且α是第一象限角，因此AB＋2BC有最大值2.5．一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4h后，船到B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为______km.答案　30解析　如图所示，依题意有AB＝15×4＝60，∠MAB＝30°，∠AMB＝45°，在△A

7、MB中，由正弦定理得＝，解得BM＝30(km)．题型一　正、余弦定理的简单应用例1　(1)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝bc，sinC＝2sinB，则A等于(　　)A．30°B．60°C．120°D．150°(2)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC，则sinB＋sinC的最大值为(　　)A．0B．1C.D.思维启迪　(1)由sinC＝2sinB利用正弦定理得b、c的关系，再利用余弦定理求A.

8、(2)要求sinB＋sinC的最大值，显然要将角B，C统一成一个角，故需先求角A，而题目给出了边角之间的关系，可对其进行化边处理，然后结合余弦定理求角A.答案　(1)A　(2)B解析　(1)∵sinC＝2sinB，由正弦定理得c＝2b，∴cosA＝＝＝＝，又A为三角形的内角，∴A＝30°.(2)已知2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC，根据正弦定理，得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.由余弦定理得a2＝