2011年湖南省长沙市长郡中学理科实验班招生考试数学试卷[1]

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1、2011年湖南省长沙市长郡中学理科实验班招生考试数学试卷参考答案与试题解析　一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）1．（4分）函数图象的大致形状是（　　）　A．B．C．D．考点：反比例函数的图象。1375074分析：由题意只需找到图象在x轴下方的不经过原点的函数图象即可．解答：解：由函数解析式可得x可取正数，也可取负数，但函数值只能是负数；所以函数图象应在x轴下方，并且x，y均不为0．故选D．点评：解决本题的关键是根据在函数图象上的点得到函数图象的大致位置．　2．（4分）（2007•临沂）小明随机地在如图所示的正三角形及其内

2、部区域投针，则针扎到其内切圆（阴影）区域的概率为（　　）　A．B．πC．πD．考点：几何概率。1375074专题：计算题。分析：针扎到内切圆区域的概率就是内切圆的面积与正三角形面积的比．解答：解：∵如图所示的正三角形，∴∠CAB=60°，设三角形的边长是a，∴AB=a，∵⊙O是内切圆，∴∠OAB=30°，∠OBA=90°，©2010-2012菁优网∴BO=tan30°AB=a，则正三角形的面积是a2，而圆的半径是a，面积是a2，因此概率是a2÷a2=．故选C．点评：用到的知识点为：边长为a的正三角形的面积为：a2；求三角形内切圆的半

3、径应构造特殊的直角三角形求解．　3．（4分）满足不等式n200＜5300的最大整数n等于（　　）　A．8B．9C．10D．11考点：幂的乘方与积的乘方。1375074分析：可以先令n=10，看是否满足等式，同理可令n=11，也可令n=12，通过计算可求出n的最大值．解答：解：若n=10，∵10200=2200×5200=4100×5200，∴，∴（）100＞1，∴n=10满足不等式，若n=11，∵==（）100×（）200=[（）×（）]100=（）100，又∵＞1，∴（）100＞1，∴11200＜5300，∴n=11满足不等式．若

4、n=12，∵=（）100，又∵＜1，∴n=12不满足不等式，故n最大取11．故选D．©2010-2012菁优网点评：本题利用了幂的乘方、积的乘方以及分数的基本性质进行变形而求的．　4．（4分）甲、乙两车分别从A，B两车站同时开出相向而行，相遇后甲行驶1小时到达B站，乙再行驶4小时到达A站．那么，甲车速是乙车速的（　　）　A．4倍B．3倍C．2倍D．1.5倍考点：分式方程的应用。1375074专题：行程问题。分析：如果设A，B两车站路程为s，甲、乙车速分别为a，b，那么当甲、乙两车分别从A，B两车站同时开出相向而行到相遇时所用时间为．

5、又相遇后甲行驶1小时到达B站，根据甲由A车站行驶到B车站的时间不变可列出方程=+1①，同样，乙再行驶4小时到达A站，根据乙由B车站行驶到A车站的时间不变可列出方程=+4②，将方程①②变形，即可求出的值，从而得出正确选项．解答：解：设A，B两车站路程为s，甲、乙车速分别为a，b．由题意，有．变形得，两式相除，得．故选C．点评：本题考查分式方程在行程问题中的应用．分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．行程问题常用的基本关系式为路程=速度×时间，解题时，紧紧抓住行程问题的三个基本量：路程、速度、时间进行分析．注意本题所设未知数有三

6、个，但只能列出两个方程，不能求出未知数的具体值，将两个方程变形，求出a与b的比值即可．　5．（4分）图中的矩形被分成四部分，其中三部分面积分别为2，3，4，那么，阴影三角形的面积为（　　）　A．5B．6C．7D．8考点：面积及等积变换。1375074专题：几何图形问题。分析：如图所示，设矩形面积为s，按图中所设的长度，得a（c+d）=4，bc=6，d（a+b）=8，从而结合图形可得出关于s的一个等式，然后将选项代入判断即可得出答案．解答：解：设矩形面积为s，按图中所设的长度，得a（c+d）=4，bc=6，d（a+b）=8，s=（a+

7、b）（c+d）=ac+ad+bc+bd，∵ac+ad=4，bc=6，da+bd=8，∴18﹣ad=s，∴ac=s﹣14，三式相乘，得a（c+d）•bc•d（a+b）=abcds=4×6×8，ads=32①；又ac=s﹣14，bd=s﹣10，所以abcd=（s﹣14）（s﹣10），6ad=（s﹣14）（s﹣10）②；由①②得s（s﹣14）（s﹣10）=192，用四个选项的值验证，当阴影面积为7时s=16，s（s﹣14）（s﹣10）=16×2×6=192成立．©2010-2012菁优网故选C．点评：本题考查面积及等积变换，有一定难度，在

8、解答本题时将图形合适的分解是解答本题的关键．　6．（4分）如图，AB是圆的直径，CD是平行于AB的弦，且AC和BD相交于E，∠AED=α，那么△CDE与△ABE的面积之比是（　　）　A．cosαB．sin2αC．cos2αD．1﹣si