回溯算法入门及应用

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1、回溯算法入门及应用广东省东莞市东华高级中学杨光文难易指数:★★★在求解一些问题（如马的遍历、选书、八皇后问题、自然数的拆分等问题）时，题目的要求可能是求出原问题的一种或所有可能的解决方案。这类问题的解往往是由一个一个的步骤或状态所构成的，每一步骤又有若干种可能的决策方案；由于没有固定、明确的数学解析方法，往往要采用搜索的做法，即从某一个初始状态出发，不断地向前（即下一个状态）搜索，以期最终达到目标状态，从而得到原问题的一个解或所有的解。在搜索的过程中，由于问题本身及所采取的搜索方法的特点（如在缺乏全局

2、及足够的前瞻信息的情况下进行搜索等），会导致走到某一状态就走不下去的情况，这时，就必须回头（即回到上一步，而不是回到最初的状态），再尝试其他的可能性，换一个方向或方法再试试。这样，不断地向前探索、回溯，再向前、再回溯，直至最终得出问题的解，或者一路回溯到出发点（出现这种情况即表示原问题无解）。注意，这种搜索过程并不是尝试搜索问题解空间中所有的可能状态和路径，而是采用深度优先的方式，沿着一条路径，尽可能深入地向前探索，这就是回溯算法。一、回溯算法的定义：回溯算法也叫试探法，它是一种系统地搜索问题的解的方

3、法。回溯算法的基本思想是：从一条路往前走，能进则进，不能进则退回来，换一条路再试。用回溯算法解决问题的一般步骤为：1、定义一个解空间，它包含问题的解。2、利用适于搜索的方法组织解空间。3、利用深度优先法搜索解空间。4、利用限界函数避免移动到不可能产生解的子空间。问题的解空间通常是在搜索问题的解的过程中动态产生的，这是回溯算法的一个重要特性。下面通过一个具体实例加深大家对回溯算法的认识。二、回溯算法的应用举例：例1：马的遍历中国象棋半张棋盘如图1(a)所示。马自左下角往向右上角跳。规定只许往右跳，不许往

4、左跳，马只能走日字。比如图1(a)所示为一种跳行路线，并将所经路线打印出来，打印格式为：0,0->2,1->3,3->1,4->3,5->2,7->4,8。找出所有路径。【算法分析】如图1（b）,马最多有四个方向，若原来的横坐标为j、纵坐标为i,则四个方向的移动可表示为：1:（i,j）→（i+2,j+1）；(i<3,j<8)2:（i,j）→（i+1,j+2）；(i<4,j<7)3:（i,j）→（i-1,j+2）；(i>0,j<7)4:（i,j）→（i-2,j+1）；(i>1,j<8)搜索策略：S1:Ａ

5、[１]:=(0,0);S2:从Ａ[1]出发，按移动规则依次选定某个方向，如果达到的是（4,8）则转向S3,否则继续搜索下一个到达的顶点；S3:打印路径。【算法设计】proceduretry(i:integer);{搜索}varj:integer;beginforj:=1to4do{试遍4个方向}if新坐标满足条件thenbegin记录新坐标;if到达目的地thenprint{统计方案，输出结果}elsetry(i+1);{试探下一步}退回到上一个坐标，即回溯;end;end;【参考程序】program

6、exam1;constx:array[1..4,1..2]ofinteger=((2,1),(1,2),(-1,2),(-2,1));{四种移动规则}vart:integer;{路径总数}a:array[1..9,1..2]ofinteger;{路径}procedureprint(ii:integer);{打印}vari:integer;begininc(t);fori:=1toii-1dowrite(a[i,1],',',a[i,2],'->');writeln('4,8',t:5);end;pro

7、ceduretry(i:integer);{搜索}varj:integer;begina[1,1]:=0;a[1,2]:=0;forj:=1to4doif(a[i-1,1]+x[j,1]>=0)and(a[i-1,1]+x[j,1]<=4)and(a[i-1,2]+x[j,2]>=0)and(a[i-1,2]+x[j,2]<=8)thenbegina[i,1]:=a[i-1,1]+x[j,1];a[i,2]:=a[i-1,2]+x[j,2];if(a[i,1]=4)and(a[i,2]=8)thenp

8、rint(i)elsetry(i+1);{搜索下一步}a[i,1]:=0;a[i,2]:=0end;end;begintry(2);end.例2：选书学校放寒假时，信息学竞赛辅导老师有A，B，C，D，E五本书，要分给参加培训的张、王、刘、孙、李五位同学，每人只能选一本书。老师事先让每个人将自己喜欢的书填写在如下的表格中。然后根据他们填写的表来分配书本，希望设计一个程序帮助老师求出所有可能的分配方案，使每个学生都满意。输出结果：zhang:Cwang:Al