自引力旋转球的整体变形几何

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1、第$#卷第’期%##"年’月物理学报G;H($#，+;(’，E/IJ/6K/0，%##""###>)%’#7%##"7$（##’）7"<&)>#$?@A?BCDEF@?EF+F@?"%##"@L.9(BLM8(E;:(!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!自引力旋转球的整体变形几何强稳朝（西安建筑科技大学理学院，西安!"##$$）（%###年""月"日收到；%##"年&月’日收到修改稿）从整体上研究自引力旋转球的变形，求出了变形球面的高斯曲率、经向和极向周长的表达式，分析了

2、自引力参数和旋转参数对球面变形的影响，并给出了当其他参数固定时自引力球的质量上限和旋转球角速度的上限(关键词：自引力旋转球，应变张量，表面几何!"##：#)&#，#)&#*，#%&#!!!（!!1%"!）·!2"!!"引言33!1#（"2#）4#，（"）其中!和分别是5,6/常数，在球坐标系中!"!在连续介质力学和弹性力学的研究中，大多数"4（"#7$）$，#42%#8.9%（8.9%$1:;8%$），##$#%作者只注重连续体或构件局部应力和应变的研究(（%）这种研究对认识对象的局部变形当然是非常重要式中$和分别是球的半径和质量密度，"4%&7#的，因而对工

3、程设计具有至关重要的意义(但是，对%是球表面的重力加速度，&是球的质量，%是万$于具有封闭表面的孤立连续体，从整体上研究其变有引力常数，$是球旋转的角速度(满足位移!在#形，分析各种条件对其几何性质的影响，无疑也具有4#处有限、#4$时#方向主应力’##4#的（"）式的积极的意义(本文将根据这一思想对自引力旋转球解是的整体几何性质进行计算和研究())%"##$&!4#(28.9%（%!!1%"!）$$&%弹性力学解）%))"#$（$!!1<"!$#:;8%8.9%2）)$#2#）$%（()）（$)!!1%"!（=!!1%"!自引力旋转弹性球的位移!满足+,-.

4、/0方由此求得无限小应变张量［"，%］程%%%&%#[（"%"#2"$#$$8.9%（)!!1%"!）2&"$（)!!1%"!）]，!##4）（!）&#$（)!!1%"!!1%"![%%%%%]##（&"2"$$$:;8%8.9%）（)!!1%"!）2&"$（$!!1<"!），（&）!4%%&#$（)!1%"）（!1%"）!!!!%%%%#[#（&"2$$$8.9%）（)!!1%"!）2&"$（$!!1<"!）]，!4&&&#$（)!1%"）（!1%"）!!!!%%))##$:;8%8.9%!%#42（=!），!%&4!#(!1%"!根据拉格郎日应变张量

5、%和格林应变张量&的关)表面几何系%()*4+)*2%)*（$）在（&）式中令#4$则得球面上的应变张量，再可得球面上的无限小格林应变张量&(这里%)*是6.--物理学报%7卷拉格郎日坐标系，即本文所采用的球坐标系的度规可求出*（!）"*（!&!），即高斯曲率*（!）关于!张量!对研究变形球的表面几何有用的两个球面上"!$#的赤道平面是对称的!不难求出两极和赤道的无限小格林应变张量是处的高斯曲率是#!（!）""（#"$）*（7）"*（!）"%（$%$），（6’）!!###"$#[（%$%）&（’$#"()*##*（!$#）"6（7#%&%""$）［$%$（-%

6、&%""$）］!"!+,(!$-）]（，.）（6-）&（!）""（#"$）##反映曲面拓扑性质的另一个重要参数是欧拉示性####"$()*![（%$%）&（$""()*!$-）]，（/）数，对于自引力旋转球的表面，容易求得其欧拉示性数其中"和"是反映球的自引力和旋转的两个特’"6#!!性常数，’"#!"5#"*（!）!!（!）&（!）5!"#，77"’"$’（$’%(0#&(），（12）（6%）#"""$"（$%(0#&(），（13）这表明自引力旋转球的表面同胚于二维球面!%"%&#$"’（4）除了高斯曲率和欧拉示性数，极向和经向周长变形后的球面上的线元，即无

7、限小弧长的平方是也可以反映球面的变形情况!自引力旋转球的极向###5)"!（!）5!0&（!）5#，（67）周长［’］线元（4）所表示的球面的高斯曲率是!"+""#!!（!）5!*（!）"765&（!）#65，"-$!%$%,［6%""$（$6.%）］，（6.）&5!(5)#!!（!）&（!）!!（!）&（!）!上式中,［］表示第二类椭圆积分［-］!不同纬度的经（66）向周长是把!（!）和&（!）代入上式经过冗长的计算得#!"（(!）""!&（!）5#*（!）"76.7%［1%#$#()*-#$-()*###&’7%""!&#%""!+,（(#!）］!"#!$

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