基于元球的几何造型与变形动画技术

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1、基于元球的几何造型与变形动画技术叶婧刘骥才汪国平董士海本文得到国家自然基金（编号：60173062）、北京市自然基金（编号：4012008）十五863项目（编号：2001AA115126）资助。·联系作者刘骥才：ljc@graphics.pku.edu.cn男21岁，北京大学计算机系00级本科生；叶婧yejing@garphics.pku.edu.cn女20岁，北京大学计算机系00级本科生。导师：汪国平，教授，博士生导师。研究方向：计算机图形学，CAD与几何造型，人机交互与虚拟现实，网络多媒体技术北京大学计算机科学技术系，北京100871摘要元球所具有的特殊势函

2、数分布，提出了一个新的用更小的数据量包含更多的几何信息的造型和变形模型。元球造型以独特的优点在几何造型和变形动画得到了广泛的应用，本文围绕元球造型在上述两个方面，通过实验进行了详细的讨论。同时针对元球曲面是隐式曲面效率不高的问题，对曲面形式和算法都进行了改进和加速，得到了可观的动画效果。关键词元球造型；变形动画；等势面；MarchingCube算法1．引言在计算机动画和几何造型中，一个很重要的研究课题是怎样调整物体的形状。电影和动画中往往通过物体的变形来实现一些具有冲击性的特效。传统的变形方法是通过移动物体的顶点或控制顶点，但是，当我们要对物体进行某种整体变形或

3、者需移动的顶点非常多时，该方法就显得相当费时和繁琐。相比之下，一种于80年代提出的造型技术——元球造型技术，却在许多方面体现出了明显的优势。一方面通过对于普通的球体定义具有物理意义的势函数，使得球体之间有了相互作用：靠近可以相互吸引以至融合，将元球质量定义为负数，还可以产生尖锐和凹陷的效果。另一方面，通过对元球的各种参数：半径，势函数公式，空间坐标，阈值的设定与调节，可以方便的修改模型和形变的效果。这种概念就像是“牵一发而动全身”，不过这种牵制是一种自然的方式进行的，而通过对参数的调节，又可以保证较好的局部性，不至于影响到全局[1]。2．背景2．1元球的定义元球

4、又叫变形球，英文名是Metaball，它被定义为三维空间的可变密度场，从中心向外辐射着势能，凡是处于它密度场之内的其它的元球都会和它相互吸引。距离越近，受到的吸引力越大。元球曲面是一个特殊的隐函数曲面，它采用具有等势场值的点来定义曲面，因此元球曲面实际上是一张等势面(iso-surface)。元球具有相互靠近到一定距离产生变形，再进一步靠近是融合成光滑表面的特性[2]。以两个元球为例，它们靠近是的形变过程如图所示：图2.1两个元球靠近并融合的过程同时广义的元球的质量还可以是负数，将一正一负两个元球融合到一起就会产生凹陷的效果，两种情况分别如图：ab图2.2（a）

5、两个质量为正的元球融合的结果（b）质量为一正一负的两个元球（在左边的较大的质量为正，右边较小的质量为负）2．2元球的曲面形式对于每一个元球而言，根据自身的质量（或密度）都有一个势函数，确定了空间中某一点相对于这个元球的势能。常见的势函数有[2]：（1）Blinn的幂函数:fi(x,y,z)=exp(-ar2)（2）Nishimura的分段二次多项式fi(x,y,z)=（3）Murakami的四次多项式[1-]2，fi(x,y,z)=0，r>Ri（4）Wyvill的六次多项式fi(x,y,z)=0，r>Ri其中r表示空间中一点(x,y,z)到第i个元球球心的距离，

6、Ri是第i个元球的有效半径。这些公式中出现了大量的分数和高次运算，这使得本来效率就很有限的隐式曲面的运算量有大大增加。基于造型和变形动画的用途，我们试图对公式进行简化，降低次数和简化系数，并得到了理想的效果（见6．元球绘制算法以及改进）。对于一个由n个元球所构成的元球系统，它所对应的等势面应该满足：f(x,y,z)=qifi(x,y,z)－T＝0其中fi(x,y,z)为第i个元球的势函数，T为阈值，qi为第i个元球的密度（或质量）。由此公式可得，该系统所确定的表面的势能即为阈值T。同时，对于空间中任何一点也可以通过比较该点的势能与T的大小来判断到底是在等势面内部

7、还是外部——大于T，在表面内部；小于T，则处于表面外部；等于T的时候，恰好在等势面上。2．3元球造型技术的主要优点将多个元球组合起来能够生成非常复杂的形状，如人体器官，动物形体，液体颗粒群等。元球造型技术主要有以下优点：(1)所需的数据量通常比多边形表示少2～3个数量级。例如，用500个元球就可以构造出一个较好的人体。(2)适合于采用CSG模型来描述景物。(3)适合表示可以变形的物体。采用元球造型，物体的变形能以一种自然的方式进行。(4)适合于人体，动物器官和液体的造型：在计算机动画中，人体造型是一个难点。人的肌肉不仅形状复杂，而且随人体的运动而变形，元球是解决

8、这类问题的有效手段(5)