线性代数下05低阶矩阵的约当标准型

《线性代数下05低阶矩阵的约当标准型》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、《线性代数2》杨晶第五讲低阶矩阵的约当标准形本周五有习题课形式：现场做题，助教讲解时间地点：选择其中任意1场时间教室1教室22012年周五第5大节五教5205五教530517:05～18:40（110人）（110人）3月19日周五第6大节五教5205五教530519:20～21:45（110人）（110人）1上讲复习矩阵的相似对角化1、对角化的概念和意义:概念：P-1AP=D=diag(,···,),P可逆，称A可对角化1n几何意义：σ在某一组基下的矩阵为对角阵A2、矩阵对角化的充要条件：极大无关条件：A可对角化⇐⇒有n个线性无关的特征向量异根判则：不同特

2、征值下的特征向量线性无关A有n个互异特征值⇒A可对角化ss重数相等条件：mi≤ni(∀i)⇒ii11mniinsA可角化mniii,(),且nnii1srIAnni()(ii),且nnisi1mnii1上讲复习3、对角化的具体方法:问题：给定n阶方阵A=(a)，判断A是否可对角化，并在ij可对角化时，计算对角阵D和可逆阵PStep1：求特征值和代数重数，即在F[λ]中分解特征多项式nnnf()()12(())sp()A12sࢌ࡭ࣅ完全分解⇒ToStep૛ቊ࢖ࣅ്૚⇒ࡿtop,࡭不可对角化ൌ࢔െ࢔࢏⇒

3、ToStep૜Step2：计算r(λI-A)൜i൏࢔െ࢔࢏⇒ࡿtop,࡭不可对角化Step3：求方程组(λI-A)࢞=0的基础解系，得i注意特征值与特xx,,x(is1,2,...,)征向量的顺序.ii12iniStep4：令P(xx,,,,x,xx,,,x)11121ns1ss2n1s1DnPAPdiag(,,,,,),其中次出现.11sisi3Solution:Step1.Example9.1Computetheeigenpolynomial01ANfA()det(IA)200122

4、det(0)0,n211Step2.Computerank(IA)AisNOT101diagonalizablerank1nn10问题：结论是否可推广到一般N(i≥2)？i4Example9.2a***0*a*AssumeA00*000aandaIA0.ShowthatAisnotdiagonalizable.分析：方法同上，只要有一个*不为零，A就不可对角化.5Example9.3Solution:122Step1.A212Computetheeigenpolynomialf()d

5、et(IA)221A122det2122212()51()5,n1111,n2226Step2.mn111√Computerank(IA)2222rank2221nn2√222Aisdiagonalizable7Step3.Solvefor:1()IAv0v111111Solvefor:10()2IAv20vv210,22111Step4.110

6、1PAPdiag(5,1,1)P101111注：实对称阵总可(正交)对角化.——上学期结论8§9.2、低阶矩阵的约旦标准形问题：当矩阵A不能对角化时，如何寻找相似意义下最简单的代表矩阵？——上(下)三角阵,和对角阵很接近.§9.2.1、低阶幂零阵的例子定义1(幂零矩阵、幂零变换)设A∈M(F),若存在正整数k，s.t.Ak=0,则称A是幂零矩阵.n设σ∈L(V),若存在正整数k，s.t.σk=0,则称σ是幂零变换.01iExample9.4Let,NiThenNi0.10ii注：幂零阵的特征值只能为0.(多项式f

7、(A)=0⇒f(λ)=0)9030327013Example9.4LetAA,??23A01011407解：见黑板推导……10作业:习题九1(5,6,7,8)3,5,6,14,下节内容:补111一般矩阵的约旦标准形N2NN3200补充题1证明：ON44,4,,,N100NN12N1两两互不相似.本周五有习题课形式：现场做题，助教讲解时间地点：选择其中任意1场内容：多项式部分，题目见网络学堂时间教室1教室