将矩阵化为约当标准型

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1、补充：===矩阵A的特征多项式有两重根，凡是在中的公因子则必然和可以相消。经过线性变换后，系统矩阵成为对角线矩阵形式的状态空间表达式，特别指出，如果维矩阵A由下式给出并且其特征值互异，作非奇异线性变换，则化A为对角线标准型矩阵其中，P为范德蒙德（Vandermond）矩阵。即补充：设约当块数为q和q个（约当块的阶数）。A矩阵惟一决定的约当型矩阵式设变换矩阵p与J具有同样阶数组的分块矩阵型令即，是阶矩阵。则根据分块矩阵的乘法规则，有上式实际上是q个等式，即将阶矩阵写成列向量形式，于是有即也可写成顺序解以上方程组就可以确定的个列

2、向量。这些列向量中只有第一个是对应于的特征向量，而其余的个向量称之为对应特征值的广义特征向量，可由上式递推解出。设矩阵A的重特征值为，代入式中，即由可求出A的对应于的特征向量。有上式解出的线性独立特征向量的个数，就是该特征值对应的约当块数，或表示为降秩数就是对应的线性无关特征向量个数，或者是对应的约当块块数。换句话说，矩阵A的特征值分组中，有。将式中计算的式子，两端同时乘以，该方程线性无关的解的个数是，但这个数目中包括的个数，即。所以，解出线性无关的列向量的个数，也就是对应的大于或等于2阶约当块的块数。例将已知矩阵A化为约当

3、型。解：先求A的特征多项式，因为A矩阵是对角分块矩阵，所以特征多项式是每个对角分块矩阵特征多项式的乘积，即将特征值代入式，求约当型中的约当块数。=6-3=3由此，由A矩阵化成的约当型共有3个约当块。然后，将代入求出约当型中大于等于2阶的块数所以，由A矩阵化成的约当型将有一个1阶块，两个大于或等于2阶的块。再将将代入，求出约当型中大于等于3阶的块数所以，由A矩阵化成的约当型共有3个约当块，其中一个1阶块，一个2阶块，一个3阶块，即设是系统的一个特征值，若存在一个n维非零向量，满足或则称为系统相对于特征值的特征向量。例如：系统矩

4、阵为试求其特征值和一组特征向量。解：由系统的特征方程系统的特征值为设对于特征值的特征向量分别为，得到则有取，得。故，下面确定将A矩阵化为约当标准型的变换矩阵P由得P115书例2.8设其特征值为共轭复数对其对应的特征向量也是复数向量，，，变换阵和它的逆矩阵都是复数矩阵，即变换后的结果也是复数矩阵，即