数学解题中「分与合」的推演

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1、數學解題中「分與合」的推演數學解題中「分與合」的推演許建銘高雄市立龍華國民中學一、前言：八根火柴棒拼成的圖是實傘的正視平面圖：一般人想到「分分合合」四個字，可能會(1)小明在路上遇見忘記帶傘的小華，如何只聯想到人生際遇。不過若我們仔細想想自己移動四根火柴棒，使小華也有一把傘可以的學習數學之路，難道不也是一段「分分合遮雨？合」甚至還愛上「難分難合」的推演歷程。高斯(Gauss1777-1855)十歲解算術：「計算1＋2＋3＋⋯＋100=？」他藉由數目圖(二)的「配對結合」，快速而正確算出總和為5050。萊布尼茲

2、（Leibniz1646-1716）當年解連圖(一)圖(三)11續「三角數」倒數和的無窮級數：「1++36這樣的問題，班上大部分的學生不花半分11+++LL」他將各項先除以2得到：「1015鐘的時間都想得出將一把傘「分」成兩把11111+++++LL」，改寫式子並「分26122030傘如圖(二)的答案。11111項對消」成「（1−）+（−）+（−）+(2)承第(1)題，如果又來了2人，請由圖(二)2233411（−）+.....」因而輕易計算出總和為2。再移動四根火柴棒，使四個人都有傘可以45數學的解題世界裡

3、，一切的思維與策遮雨？略，沒有現實社會裡虛華而複雜的因素，此時，部分同學開始交頭接耳，有些人忙「分與合」就考量其「分工合作」、「化繁為著「分」傘。不久就有人講出如圖(三)四把簡」。藉著解題推演中思想與習性的導正和開花雨傘的答案，但隨即惹來不少笑聲，陶冶，培養學習者解決問題的認「真」態度，不過我也鼓勵性的口頭肯定這個答案。最進而豐富其「善」的機智並提升「美」的鑑賞後我公佈答案：就是「合」成圖(一)的原圖力。傘，理由是：圖(一)和圖(二)都是「相似二、本文：傘」，而圖(一)的實傘，其傘下的圓半徑(一)我在上國三「

4、相似形」時，設計了一道兩是圖(二)任一把實傘的2倍，因此實傘下小題的問題隨堂問學生：可以遮雨的圓面積是圖(二)任一把實傘下下雨天，小明撐了一把傘，如圖(一)由的圓面積的4倍。若圖(二)的一把傘可讓－21－科學教育月刊　第243期　中華民國九十年十月一人撐來遮雨，則圖(一)的傘便可讓四人求值式=(1+2-3)+(4+5-6)+(7+8-9)+......32()3+96同時撐來遮雨。+(97+98-99)=0+3+6+......+96=2(二)「合」與「分」並非對立，相反的，它們=16×99=1584相依相生

5、。「合」與「分」或可期許得到【問題三】：規律性、定理化以化繁為簡，而其完整矩形ABCD(如圖(四))中，已知AB=1，思考的內涵也往往蘊含不同層次的解題AD=2，若以C為圓心，整個矩形順轉90°智慧與思考價值，請比較以下四個問題，求AD掃過的面積。的各個解法與想法。解一：【問題一】：如圖(五)，AD掃過的斜線面積=∆ACD5911737239求(+++)÷4之值。面積+扇形ACA′面積-扇形DCD′面積-60120402401()212解一：−∆CD′A′面積=1+×π5−×π()1−144236234222

6、23951求值式=(+++)÷4==π−π=π24024024024044236+234+222+239931==960960解二：1331求值式=1−(+++)÷4=1−60120402402929931−÷4=1−=240960960【問題二】：圖(四)圖(五)計算1+2-3+4+5-6+7+8-9+......+97+98-99解二：之值。Q∆ADC≅∆A′D′C解一：∴圖(五)的斜線面積=圖(六)的斜線面積求值式=(1+4+7+11+......+97)+125−12=π()=π4(2+5

7、+8+......+98)-(3+6+9+......+99)33[]()1+97+()2+98−()3+9933×96===33×4822=1584解二：求值式=(1+2+4+5+7+8+......+97+98)-圖(六)(3+6+9+......+99)=(3+9+15+......+195)-[]()()解三：333+195−3+99(3+6+9+......+99)=2如圖(七)，AD掃過的斜線面積33×96==33×48=15842125−12解三：=4π()=π－22－數學解題中「分

8、與合」的推演(不合)或l=100解三：圖(七)考慮兩人「合」泳情形：第一次相遇兩人「合」泳的距離等於水道長；第二次相遇前兩人「合」泳的距離等於3倍水道長。所以甲第【問題四】：二次與乙相遇時游的距離是第一次相遇的3甲、乙兩人同時從一矩形游泳池的某水道倍，意即第二次兩人相遇時甲游40×3=120(公兩端，用固定速度相向游泳，兩人第一次途中尺)。相遇處距離甲出發這端有40公尺，然後繼續∴水道長=120-2