数字信号处理实验指导 实验 1

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1、实验1FFT变换及其应用一、实验目的1.在理论课学习的基础上，通过本次实验，加深对DFT原理的理解，懂得频域DFT与时域卷积的关系，进一步加深对DFT基本性质的理解；2.研究FFT算法的主要途径和编程思路，掌握FFT算法及其程序的编写过程，掌握最基本的时域基-2FFT算法原理及程序框图；3.熟悉应用FFT实现两个序列的线性卷积的方法，利用FFT进行卷积，通过实验比较出快速卷积优越性，掌握循环卷积和线性卷积两者之间的关系；4.熟悉应用FFT对典型信号进行频谱分析的方法，初步了解用周期图法作随机信号谱分析的方法，了

2、解应用FFT进行信号频谱分析过程中可能出现的问题，以便在实际中正确应用FFT；5.掌握使用MATLAB等基本开发工具实现对FFT编程。二、实验设备1.Windows2000以上操作系统；2.VisualC++6.0/VisualBasic6.0/Delphi6.0/MatLab6.5等以上版本的开发环境；3.每人一台PC机。三、实验原理（一）离散傅里叶变换（DFT）有限长序列的离散傅里叶变换的定义为：N1nkXkDFTxn()[()]xnW()Nn0N1()[()]1()nkxnID

3、FTXkXkWNNk0x()n和X()k是一个有限长序列的离散傅里叶变换对，分别称为DFT、IDFT。已知其中的一个，就能惟一地确定另一个。jX()k也可以看作序列x()n的傅里叶变换X()e在区间［0,2π］上的N点等间隔采样，其采样间隔为2/N，这就是DFT的物理意义。NDFT具有以下一些性质：线性、圆周移位、圆周卷积、有限长序列的线性卷积与圆周卷积及共轭对称性等。（二）快速傅里叶变换（FFT）由于DFT运算过程复杂及耗时较大，诞生了FFT。这里仅讨论按时间抽取的基-2FFT。M设序列x()

4、n长度为N，且满足N2，M为正整数。按n的奇偶把x()n分解为两个N/2点的子序列：x2(r)x1(r)Nr,1,0,1x2(r)1x(r)22则x()n的DFT转化为：XkDFTxn()[()]NNN111nknknkx()nWNNxnW()xnW()Nn0nn00nn为偶数为奇数NN11222(rk2r1)kxrW(2)NNxrW(21)rr00NN112222rkkrkxrW12()()NNWxrW()()Nrr00NN

5、1122rkkrkxrW1/()NN2WxrW2/()N2rr00kXkWXk()()12N其中，NN1122rkrkXk1()xrW1()NN/2xrW(2)/2rr00NN1122rkrkXk22()xrW()NN/2xrW(21)/2rr00可见，一个N点DFT分解成两个N/2点的DFT。但由于X()k、X()k只有N/2个点，而X()k却有N个点，故计算得到的只是X()k12的前一半的结果，要用X(k)、X()k来表达全部的X()k

6、值，还必须应用系数的周期性12即有：NXkXk()112NXkXk()222因此得：kXk()XkWXk()()12NNN,k0,1,,1kXkXkWXk()()212N2根据上面的分析，利用四个N/4点的DFT及两级蝶形组合运算来计算N点DFT，比只用一次分解蝶形组合方式的计算量又减少了大约一半。（三）用FFT进行谱分析由上面的分析可知，若信号本身是有限长的序列，计算序列的频谱就是直接对序列进行FFT运算求得X(k)，X(k)就代表了序列在

7、2,0之间的频谱值。22幅度谱：X(k)X(k)X(k)RIX(k)I相位谱：(k)arctanX(k)R若信号是模拟信号，用FFT进行谱分析时，首先必须对信号进行采样，使之变成离散信号，然后就可按照前面的方法用FFT来对连续信号进行谱分析。按采样定理，采样频率fs应大于2倍信号的最高频率，为了满足采样定理，一般在采样之前要设置一个抗混叠低通滤波器。用FFT对模拟信号进行谱分析的方框图如下所示。图1.1FFT对模拟信号进行谱分析的方框图在运用FFT进行频谱分析的时候可能有混淆现象、泄漏现象和栅

8、栏效应。【例1-1】已知序列x()nn2sin(0.48)cos(0.52n)，0≤n<100。试绘制x()n及它的离散傅里叶变换X()k图。MATLAB实现代码如下：clearallN=100;n=0:N-1;xn=2*sin(0.48*pi*n)+cos(0.52*pi*n);XK=fft(xn,N);magXK=abs(XK);phaXK=angle(XK);subplo