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1、第三节平面向量的数量积及应用考点高考试题考查内容核心素养平面向量的数量积及应用2017-全国卷I-T13-5分向量垂直的条件数学运算2016-全国卷I-T13-5分向量垂直的条件数学运算2015-全国卷II-T4-5分向量的坐标运算数学运算命题分析高考对本节内容的考查形式为选择题或填空题，对向量的模、夹角及其应用是考查的重点，难度适中，分值为5分.课前履栽材条决税龙戲会龙通真檎操就参加'必知识清单1.平面向量的数量积⑴d，〃是两个非零向量，它们的夹角为&，则数量a\b-cos3叫作a与〃的数量积(或内积)，记作ab,即a'b=a\b'cos0.规定0a=0.当a丄b
2、时，0=90。，这吋ab=0.(2)ab的几何意义ab等于a的长度
3、a
4、与〃在a的方向上的投影
5、冰x)s0的乘积,或b的长度
6、方
7、与a在方方向上投影
8、a
9、cos0的乘积.2.向量数量积的运算律()ab=ba.(2)(2a)*=A(a*)=a(2ft).(3)(a+b)c=ac+〃c.3.平面向量数量积的有关结论己知非零向量a=(xj,ji),b=©2,力)结论儿何表示坐标表示模a=y[craa=^x]+y]夹角abcos9~a\bXXi+yV2co心+并心+分a丄〃的充要条件ab=00创与
10、绷创的关系0创W
11、4岡
12、兀任2+yy^W寸(4+yf)U2+yb提
13、醒：1.辨明三个易误点(1)①0与实数0的区别：0s=0H0,a+(—a)=0H0,a・0=0H0；②0的方向是任意的,并非没有方向，0与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系.(2)ab=0不能推出a=0或b=0,因为ab=0时，有可能a丄力(3)a•方=a・c(aHO)不能推出b=c,即消去律不成立.2.有关向量夹角的两个结论(1)两个向量a与〃的夹角为锐角，则有ab>0,反之不成立(因为夹角为0时不成立)；(2)两个向量a与方的夹角为钝角，则有ab<0,反之不成立(因为夹角为兀时不成立).$小题查检1.判断下列结论的正误(正确的打“丿”，错误的打“X”)(1)向量在
14、另一个向量方向上的投彫为数量，而不是向量.()(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.()(3)由a•方=0,可得a=0或方=0.()⑷两向量a丄方的充要条件：a•方=00X1X2+y必=0.()(5)若a/>0,则a和〃的夹角为锐角；若ab<0,则a和”的夹角为钝角.()(6)(ab)c=a(bc).()(7)aF=a・c(aH0),则b=c.()答案：⑴丁(2)V(3)X(4)X(5)X(6)X(7)XB・02.向量a=(l,-.1),〃=(一1,2),则(2a+b)a=()A.-1C.1D.2解析:选C方法一・.・a=(l,-1),b=(
15、-l,2)f・・・/=2,ab=_3,从而(2a+b)a=2a2+ab=4-3=l.方法二Va=(l,-1),*=(-1,2),：.2a+b=(2f-2)+(-1,2)=(1,0),从而(2a+b=(1,0)(1,-1)=1,故选C.3.设a,〃是非零向量，A.充分而不必要条件C.充分必要条件aa-h=a\bff是“a〃方”的()B.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件解析：选A若a-b=a-bf则cos〈a,b)=1,.I〈a,b)=0°,：・a〃b,充分.若a//b,则〈ab>=0。或180°,:.a-b=a\b或a2=_
16、a恂,不必要.1.(教材
17、习题改编)若
18、a
19、=5,
20、创=4,且
21、a+方f=21,则a与方的夹角为..解析：因为
22、a+Z>
23、?=a2+2a,i+Z>2=21,即25+2aR+16=21,所以a•方=一10,设a与b的夹角为&,贝'〕cos&=〔a”切=5x4=—刁•**答案：y1.(2016-北京卷)已知向量a=(l,迈)，b=©,1),则a与〃夹角的大小为解析：设a与方夹角为加八ab(1，萌)1)羽八遇&=丽=仔丽•函时=2'又〃e［0,it］,故〃=?.答案汪课堂•考止突就平面向量数量积的运算［明技法］向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即a・0=
24、a
25、
26、b
27、cos
28、〈a,b).(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a=(xi，/),b=(X2,力)，贝'Jab=xx2+yy2>运用两向量的数量积可解决长度、夹角、垂直等问题，解题时应灵活选择相应公式求解.［提能力］【典例】(2018-天津模拟)在等腰梯形ABCD中，己知M3〃DC,4B=2,BC=,ZO__1ABC=60°.^E和F分别在线段BC和DC上，且庞=护乙DF=^DC,则庞•茜的值为解析：方法一取厉，黃?为一组基底,―►—►—►2~>—►则AE=BE-BA=§BC-BA,所以庞
