任意边界下有限差分算法及在断裂力学中应用

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1、第1章绪论第1章绪论1.1课题背景自然科学与工程技术中的许多问题都可以用线性或非线性微分方程来描述，这些微分方程中只有很少一部分可以精确求解或者说有解析解，而绝大多数微分方程则必须通过近似方法求解，包括借助计算机进行数值求解。有限元、有限体积法和有限差分是最重要的常用方法。其中有限差分法（FiniteDifferenceMethod简称FDM），又称网格法，是计算机数值模拟最早采用的方法，它的应用已有相当长的历史，早在50~60年代，就应用到电机的电磁场数值计算中来了，如Erdelyi(1963)用差[1]分计算二维磁场，并考虑了磁场的非

2、线性。一般情况下有限差分法是从微分方程出发，将求解区域划分为差分网格，通常是笛卡尔坐标系下的网格，用有限个网格节点代替连续的求解区域，通过用Taylor级数展开等方法近似的用差分、差商代替微分、微商，这样微分方程和边界条件的求解就可归结为求解一线性代数方程组，从而得到数值解。有限差分具有比较直观、公式和计算程序不太复杂、网格划分简单、准备数据省时等优点，有限差分法还能在并行计算机上实现运算，因此能大大提高计算效率。在求解区域为规则矩形边界时，划分的差分网格能与求解区域边界恰好吻合，有限差分法便是数值计算中最强有力的工具，与有限元法相比，有

3、限差分法更简单，更灵活。但当求解区域为不规则边界时，划分的差分网格则不能与求解区域很好的吻合，此时有限差分法就不如对边界适应能力较强、网格划分较灵活的有限元法更有效。但任何事物都有其两面性，运用有限元法时，一般需要求解阶次很高的代数方程组，而且对于一些物理量间断的问题需构造特殊几何单元等。因此对于有些问题有限元法也有其局限性，如小尺度构型下的破坏问题。然而，在现实世界大部分的情况中，不规则边界问题随处可见，因此，对不规则边界问题的解法就具有更广泛的应用价值和普适性。为了发挥有限差分法这有一定历史而又经典数值的算法的优势，使其应用范围更广泛

4、，对其进行完善、扬长避短是有必要的，因此对不规则边界下有限差分算法的研究是有着非常重大意义的。-1-哈尔滨工业大学理学硕士学位论文断裂力学中，应用经典线弹性断裂理论，相当数量的无限区域构形断裂问题可以解析求解。但对于含裂纹体的有限区域，由于几何情况和边界条件较为复杂，解析求解就变得非常困难。除去少数几何构形简单的特殊情形，一般有限区域的裂纹问题在目前的数学发展水平上仍难以求得解析解。然而，将传统有限元方法直接应用于断裂分析时，为了从裂纹尖端邻近的应力、应变及位移场中确定应力强度因子等断裂力学参数的精确值，需要在裂纹尖端附近采用十分精细的网

5、格，巨大的计算成本使得该方法的应用受到了致命的限制。1.2本课题研究的目的及意义在很多介绍有限差分算法的教材以及资料中，对于不规则边界的问题，只介绍了对第一类边界条件，即Dirichlet边界条件的处理方法，而没有对第二类边界条件，即Neumann边界条件的处理方法。本课题研究的目的和意义在于建立一种有效的不规则边界下的有限差分算法，在发展出有效的差分计算方法的基础上，结合王旭跃与清华大学冯西桥这两年基于奇异性理论发展出的高效耦合算法形成一个材料破坏分析软件，用于断裂现象、尤其是小尺度破坏构型的处理。工作重点先集中在破坏试验试件的韧度测量

6、方面。1.3国内外相关技术发展现状目前国内外对于有限差分算法尤其是不规则边界上的有限差分算法的研究很少，主要研究集中在解决动态问题的过程。在流体动力学计算的过程中，早期使用基于曲线坐标系划分出适合区[2,3]域的网格人为的去配合边界的方法，并且有专门的书可供参考，然而这种配合复杂边界的构造网格的方法既要保证网格与边界配合良好又要保证计算准确，构造过程是很困难和繁琐的，需要比模拟流体更多的时间来操[4,5]作。还有一种处理不规则边界的最常用的方法是使用非矩形网格，对于直边的不规则形状的计算单元采用有限体积守恒定律，与有限元法类似。这种方法对

7、于一阶精度方程的实现和编程序相对容易，但此法能不能被顺-2-第1章绪论理成章的推广到高阶精度却不是很明朗，因为被其它不规则单元包围着的[6,7]不规则单元的体积分和面积分的精确度估计是很困难的。[7]为了解决这个问题，提出了笛卡儿切割单元法（Cartesiancutcellmethod），这种方法的主要思想是内部采用简单而精确的笛卡儿坐标系下的矩形网格的来划分，对于边界及其附近进行特别的修正。对于被边界拦腰截断的单元，只在边界以内的部分单元使用守恒定律，因此被称为“cutcell”。由于这些cutcell单元只在边界附近出现并且只占全部单

8、元的很小一部分，因此对这一小部分的单元采取的特殊的计算远没有在整个区域上引进非矩形单元的工程那么大。然而，基于传统的有限体积法的最基本的cutcell方法仍然是一个低阶精度的方法，边界附近的畸