几何画板双曲线作法

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1、几何画板简明教程甘肃省环县第一中学刘金堂第十课双曲线的画法的画法和性质一．双曲线的定义：1．在平面内，到两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于

2、F1F2

3、)的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。2．双曲线的标准方程：设M(x,y)是双曲线是上任意一点，双曲线的焦距为2c(c>0)，则如图建立直角坐标系，又F1、F2的坐标分别是F1(－c,0),F2(c,0)，若M点与F1、F2两点的距离的差的绝对值等于2a(c>a>0)，则

4、

5、MF1

6、－

7、MF2

8、

9、＝2a,∴,图10－1整理化简，并且设b2＝c2－a2得双曲线的标准方程.

10、3．双曲线的第二定义：设动点M(x,y)与定点F(c,0)的距离和它到定直线:x＝的距离的比是常数(c>a>0)，则点M的轨迹是双曲线。点F是双曲线的一个焦点，直线是双曲线中对应于焦点F的准线。常数e＝(e>1)是双曲线的离心率。图10－24．双曲线的参数方程：以原点为圆心，分别以a、b(a,b>0)为半径作两个圆，

11、OA

12、＝a,

13、OB

14、＝b,点P是以a为半径的圆上的一个点，点C是OA与半径为bd圆的交点，过点C作CN⊥Ox，交直线OP于N，过点N作OX轴的平行线，过点P作PR⊥OP，交Ox轴于R，过点R作直线RM交过点N的x轴的平行线于点M，当点P在圆上运动时，M点的

15、轨迹是双曲线。设点M的坐标是(x,y)，φ是以Ox为始边，OP为终边的正角，取φ为参数，那么x＝

16、OR

17、＝

18、OP

19、secφ＝asecφ,y＝

20、RM

21、＝

22、CN

23、＝

24、OC

25、tgφ＝btgφ,图10－3第59页几何画板简明教程甘肃省环县第一中学刘金堂∴双曲线的参数方程是(φ是参数).二．双曲线的画法：画法1：图10－41．在x轴上取两点F1、F2，使

26、OF1

27、＝

28、OF2

29、，用它们作为两个焦点；2．在图形外作一条线段AB，使

30、AB

31、＝2a，(

32、AB

33、<

34、F1F2

35、)；3．以O为中心，在x轴上取两点A1、A2，使

36、A1A2

37、＝

38、AB

39、；4．在AB延长线上分别取C'，使

40、BC'

41、＝

42、

43、A1F1

44、；在ABC'的延长线方向上作射线C'C，并用“作图”菜单中的“对象上的点”功能在C'C上作点C；5．分别以F1、F2为圆心，用

45、BC

46、、

47、AC

48、为半径作圆，两圆相交于P1、P2两点；同样方法分别以F1、F2为圆心，用

49、AC

50、、

51、BC

52、为半径作圆，两圆相交于P3、P4两点；并将这四个点定义为“追踪点”；6．依次选中点C、点P1(或点C、点P2,或点C、点P3,或点C、点P3)，用“作图”菜单中的“轨迹”功能，作出双曲线。理论根据：点P1是两圆的交点，∴点P1到F1与F2的距离的差等于两圆的半径的差,即

53、

54、PF1

55、－

56、PF2

57、

58、＝

59、AC

60、－

61、BC

62、＝

63、AB

64、＝2

65、a.说明：点C不要直接在BC上取，那样画出来的双曲线将在x轴附近断开一段，因为计算机画的曲线实际上是由若干条小线段形成的，这些线段的端点是由符合条件的若干个点中随机选取的，当我们使点C在BC上运动时，当点C非常接近点B时，两圆没有交点，于是画出来的图形就不好看了。第59页几何画板简明教程甘肃省环县第一中学刘金堂画法2：1．在x轴上取两点F1、F2，使

66、OF1

67、＝

68、OF2

69、，用它们作为两个焦点；2．在图形外作一条线段，使它的长度为2a，(2a<

70、F1F2

71、)；图10－53．以F1为圆心，2a为半径作圆，在圆上任取一点P；4．连接PF1、PF2，作PF2的中垂线与直线PF1

72、交于点M，连接MF2；5．将点M定义为“追踪点”，分别选中点M、点P，用“作图”菜单中的“轨迹”功能画出双曲线。理论根据：点M在PF2的中垂线上，∴

73、MP

74、＝

75、MF2

76、,∴

77、MF1

78、－

79、MF2

80、＝

81、MF1

82、－

83、MP

84、＝

85、F1P

86、＝2a.即点M到两个定点F1和F2的距离的差等于定长2a。点M的轨迹是一个双曲线。画法3：1．在平面直角坐标系中取点F1、F2，使

87、OF1

88、＝

89、OF2

90、，把它们作为焦点，在OF1上取一点A1，使它作为双曲线的顶点；2．度量OF1、OA1，把它们的长分别作为c和a，使a

91、ON

92、＝,过点N作Ox轴的垂线作为双曲线

93、的准线；4．选中Ox轴，用“作图”菜单中的“对象上的点”功能，取动点P；5．计算e＝，并度量

94、NP

95、的长，计算

96、NP

97、×；6．以点F2为圆心，

98、NP

99、×为半径作圆，此圆与过点P且垂直于Ox轴的直线相交于M1，M2两点；7．分别选中点M1和点P(或点M2和点)，用“作图”菜单中的“轨迹”功能，画出双曲线。第59页几何画板简明教程甘肃省环县第一中学刘金堂图10－6理论根据：点M1到点F2的距离是

100、NP

101、×，点M1到准线的距离

102、M1D

103、＝

104、NP

105、,∴＝＝e.∴点M1在双曲线上。画法4：1．以坐标原点O为圆心，分别以a、b(a,b>0)为半径画两