圆的有关概念及性质

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1、成都龙文学校个性化教育教案教师：学生：年级：时间:圆的有关概念及性质（一）“圆”是现实世界中常见的图形，是初中几何的最后一章，从整个初中几何的学习来看，它属于“提高阶段”．在知识方面，不仅需要学好本章的知识．而且还需要能综合运用前面学过的知识，在数学能力方面，不仅要掌握好以前学习过的折叠、平移、旋转、推理证明等方法，还要具备运用这些知识和方法来继续研究圆的有关性质，并解决一些实际问题．另外，圆的许多性质，在理论上：和实践中都有广泛的应用，所以，“圆”这章在初中几何中占有非常重要的地位．【知识点清单】§Ⅰ圆的有关概念1．圆：平面上

2、到__的距离等于__的所有点组成的图形叫做圆，其中，__为圆心，__为半径．__________确定圆的位置，__________确定圆的大小。2．弧：圆上任意两点间的部分叫做__，简称弧，大于__的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．3．弦：连接圆上任意两点的线段叫做__，经过圆心的弦叫做__。4．能够重合的两个圆叫做__，同圆或等圆的__，在同圆或等圆中，能够互相重合的两条弧叫做__。5．点与圆的位置关系：设圆的半径为r,点到圆心的距离为d，（1）．点在圆外，即d_______r(2)．点在圆上，即d_______r(3)．点

3、在圆内，即d_______r§Ⅱ圆的有关性质：1．圆是轴对称图形；其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心．2．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．图形+符号理解：定理的条件有两项：①CD是⊙O的直径，AB是弦；②CD⊥AB，垂足为E．定理的结论有三项：这个定理可概括为：CD是直径，AB是弦，CD⊥AB于E文字理解：垂径定理也可以这样理解：一条直线，如果它具有两个性质：①经过圆心；②垂直于弦，8成都龙文学校个性化教育教案那么这

4、条直线就具有另外三个性质：①平分弦；②平分弦所对的劣弧；③平分弦所对的优弧。●注意：①这里的垂径可以是直径或或；②垂径定理是由圆的轴对称性推导出来的，所以可以把圆内的任一条弦的两个端点看成是轴对称点，它们的对称轴是过圆心且垂直于弦的直线；③垂径定理是证明线段相等，角相等，直线垂直的主要依据，同时也为圆的计算和作图提供了方法和依据．★★3．垂径定理的2个推论：推论1：(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且

5、平分弦所对的另一条弧．推论2：圆的两平行弦所夹的弧相等．●注意：(1)中“不是直径"这个附加条件必须强调，因为一个圆的任意两条直径总是互相平分的，但未必；(2)垂径定理和推论1可以结合起来表述为：对于一个圆和一条直线说，如果具备下列五个条件中的任何两个，那么也具备其他三个：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧．【典例精析】考点1:圆的有关概念【例1】下列说法正确的是：（）A．弦是直径B．过圆心的线段是直径C．圆心相同，半径不等的两个圆是同心圆D．等弧一定是同圆中的弧【例2】已知⊙O的最大弦8厘米

6、,点A,B,C与圆心的距离分别4厘米,3厘米,5厘米,则点A在,点B在点C在。【例3】一点与圆上最近点的距离为4㎝，最远点距离为9㎝，则圆的半径变式训练:1．有4个命题:①直径相等的两个圆是等圆②长度相等的两条弧是等弧③圆中最大的弦是通过圆心的弦④一条弦把圆分为两条弧,这两条弧不可能是等弧,其中真命题是。2．已知⊙O半径为1,点A与圆心的距离为r,且方程有实根，则点A在⊙O的考点2垂径定理的理解例1下列命题正确的有：（）（1）直径是圆的对称轴．（2）平分弦的直径垂直于弦．（3）过弦的中点的直线平分弦所对弧（4）过弦的中点的直线必

7、过圆心变式训练:判断：8成都龙文学校个性化教育教案⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.（）⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧.（）⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（）⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行.（）⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.考点3垂径定理的基本运用【例4】、已知：如右图，⊙O中，AB为弦，C为弧AB的中点，OC交AB于D，AB=6cm，CD=1cm.求⊙O的半径OA。【例5】、如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2,求半圆的半径是多少？变

8、式训练:1、储油罐的截面如图所示，装入一些油后，若油面宽AB=600mm，求油的最大深度．2、如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，若AE=6cm，EB=2cm，∠CEA=30°，求CD的长．考点4垂径定理中的运动问题8成都龙文学校个性化教育教案【例6】A是半