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1、第27卷第5期大学数学Vol.27,.52011年10月COLLEGEMATHEMATICSOct.2011概率论教学中思维品质的培养徐静(安徽师范大学数学计算机科学学院,安徽芜湖241000)[摘要]从加强概率概念逻辑性教学、通过构造概率论中反例教学和构建相关问题的概率模型的教学等几个方面探讨了如何在概率论教学中培养学生的概率思维品质.[关键词]概率教学;思维能力;概率模型[中图分类号]O211[文献标识码]C[文章编号]1672-1454(2011)05-0200-03培养学生的思维品质,提高学生的思维能力是数学教育的重要目标之一.概
2、率论思维虽然是从属于一般思维、具有一般思维的特性,由于概率论是研究随机现象统计规律的学科,它的思维体系、处理问题的主要方法和结果也具有明显的自身的特点.同时,概率统计具有广泛的应用性,这也常使初学者感到它的基本概念、基本方法不容易掌握,给学生的学习带来一定的困难.为此,本文从以下几个方面探讨了如何在概率论教学中注重引导学生学习方法,培养良好的思维品质,提高教学质量.1加强概率概念逻辑性教学培养概率思维的逻辑性概念是思维的基础,讲清概念,把握概念的实质.如果概念不清,就难于理解此概念所产生的性质、定理和公式,直接的后果是导致判断不当,审题不明,推理论证不符合逻
3、辑性.概率论学习也不例外.因此,我们要特别重视对概率论中的概念教学,让学生获得清晰准确的概念.为此,首先要下功夫去剖析概率概念的内涵与外延.并加强对概率论中概念的关键词教学,概念中一些关键性的词句是用来阐述、或用以限制概念的内涵与外延.不了解这些词句的含义,往往是错误理解概念的原因之一.对一些重要的概念,在教学中要充分揭示概念的产生、形成和发展过程,让学生在概念的形成过程中去认识理解概念.例如,学习了概率的统计定义,学生容易认为概率是频率的极限.为了说明这个问题,我们可以构造掷一枚均匀硬币的随机试验,A表示出现正面,则P(A)=1/2.事实上,将一枚匀硬币抛
4、掷次,事件A的频率nA/n稳定于0.5,但不管n多大,在n次试验中,每次都出现正面还是有可能的,此时事件AnA的频率为n/n=1,故lim=P(A)不能成立.其次,在教学中做到:n→n(Ⅰ)让学生在分辨是非中理解概念,例如,为了证明下面结果:若a>0,b>0且ba,则有nkkn-knCn(-a)b=(-a+b).文[2]给出了如下的概率模型:设在一面积为b的圆靶上涂上一层黑k=0色,同时面积为a的圆靶的某区域上加上一层白色,现在独立地向靶射击n次,每次射击一发子弹且假定不存在脱靶的意外情形.并以Ai表示第i次击中白色,而其余n-1次命中黑色,i=1,2
5、,,n,则-AiAj表示第i,j次击中白色,而其余n-2次命中黑色,,A1A2An表示每次都击中白色,A1--A2An表示每次都击中黑色,于是[收稿日期]2009-03-26[基金项目]安徽省省级精品课程《概率论》(教秘高[2007]49号)第5期徐静:概率论教学中思维品质的培养201n-1nab(-a+b)P(Ai)=n,i=1,2,,n,,P(A1A2An)=n.bb对上述模型,在课堂教学中让学生讨论分辨得出如下结论:(i)概率模型构建不够恰当;n-1a(b-a)(ii)所求事件的概率欠妥,如P(
6、Ai)=n-1(i=1,2,,n)等;bb(iii)所设事件相矛盾,如AiAj表示第i,j次击中白色,而其余n-2次命中黑色.事实上,AiAj=.导致上述概念不清的原因是对概率论中的事件相容性、独立性等概念理解不深.事实上,我们只须构造概率模型:设袋中有a只白球,b-a(ba)只黑球,每次从中任取一球,记下球的颜色,取后放回,连续取n次.令Ai表示第i次摸出白球即可.(Ⅱ)在类比中理解概念,如在事件的独立性与不相关的教学中,两个随机变量,相互独立与,不相关,这两个概念常使学生混淆.我们知道:若随机变量,相互独立,且,的二阶矩非0有
7、限,则,一定不相关;若,相关,则,一定不独立.而,不相关,未必有,独立.事实上,可以验证下例即知:若随机变量的概率密度是偶函数且二阶矩有限,则与不相关,但它们不相互独立.当然,对于正态变量,亦有与不相关且它们相互不独立.但对于二维正态变量(,)总有若,不相关,则,独立;反之若,独立,则,不相关.2通过构造概率论中反例教学培养概率思维的批判性所谓的思维的批判性是指在推理、判断过程中不断地对思维过程作出评价,用质疑、批判、求异的眼光观察分析问题.思维的批判性是一种创造,美国哲学家拉卡托斯曾指出:整个数学理
8、论体系本身就是通过理论的
