基于二次b样条的曲线、曲面逼近算法研究

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1、硕士学馒论文基于二次B榉条的热线、曲嚣逗i庭算法研究保留了其收敛速度快、精度高的优点，且编程实现容易，解决了常规曲面逼近、曲面插僮算法实现难度大的缺点。这也是本文选题意义所在。文献[1】中基于B样条的曲线逼近算法推广到曲面逼近领域后，可以应用于工业产品外形设计、建筑行业外观设计、航空航天飞行器设计等领域。1．4本文的主要工作本文以介绍曲线、曲面逼近算法为主线，通过研究文献f1】所提供的曲线逼近算法，将曲线逼近算法理论加以完善，并将算法成功的推广到曲面逼近领域。本文的组织结构和基本思路如下：第一章是绪论部分，简要地概述了曲线、曲面研究的发展

2、历史、现阶段遇到的问题帮论文选题的意义，唆确了本文的研究对象。第二章简单介绍了文献[1】提供的曲线逼近算法。本章首先将文献【l】中的两个未证明定理加以证臻；然焉，将其算法推广到控制点葛≥等距的情况下(文献fl】只进行了控制点为等距节点时候的算法讨论)；最后，进行了逼近速度、逼近精度等方面的数值实验，并修正了文献【】】中的几处数据误差。第三章介绍本文研究的工业背景，并将其归纳为数学模型。为了更好的组织论文，本章给出了个别现象的数学定义，如结构矩阵、初始控制点、误差结构矩阵等。还将本文所采用豹益面逼近算法进行了详细描述。第四章研究了本文提供的

3、曲面逼近算法的收敛性，并提出了矩阵向量化的证明方法。在此基础上，进行了算法收敛速度方蘧的讨论。最后在查阅大量B样条理论的基础上，讨论了所得B样条曲面的光滑性问题。第五章将本文提供的算法进行了大量的数值实验。一方面，采用了OpenGL进行了涵数图象与逼近图像的比较。另一方面，利用大量的测试函数进行了收敛速度测试。第六章将本文的算法进行总结，并指鹚了今履的研究方向和有待解决的阏题。硕士学位论文基于二次B样条的曲线、曲藤邋近算法研究2曲线理论研究2．1曲线逼近算法简介2。1。1勰题攒述下面对文献【1]提供的算法进行简单说明(注：文献【1】只对控

4、制点为等距节点的情况进行了讨论_)。假设超向量hf鲜鹫⋯鹭⋯臻{h=(啊忽⋯瑰⋯‰)=l硝醚⋯掣⋯蟛l【鲜巧⋯蟛⋯瑶J为三维空间中给定的数据点。我们希望在三维空间中找到一条通过以上各点的曲线J(f)，并要求s(f)具有较好的光滑性。2．1．2补充边界数据对于具有周期性的数据点，我们添加端点数据魄、k，后可得到超向量吣h。=(hoI啊％⋯曩⋯‰I‰+，)__呻_．其中‰n=巍，魂=‰·2．1．3算法说明文献【l】提供的迭代算法的迭代过程如图2．1。3。l所示，其中虚线爻第弘1次迭代近似线、实线为第k次迭代近似线(k表迭代次数，初始值为1)。

5、图2．1．3．1基于二次B样条的曲线逼近算法示意图具体算法如下：第一步：用h‘作为初始控制点，并令hd>=h’。72曲线理论研究硕士学位论文第二步：通过下面的公式来寻找近似B样条曲线jO)(后≥1)。；《t>c，，=；，<七’cr，==丢c荔：：!：’再；‘>石：：：’，[三‘芋÷][，!]‘珈，恻稿萨诸，憾lhx,蓉器]hkb=(办≯>I耳甜>绣d’⋯巧d>⋯砖bI，hwN<+k，>)巧tb：--J，(委)(江1，2，⋯Ⅳ)．％曲’=，hwN，，h．Ⅳ+lN=省靠’线记为；如(f)，将曲线；如(，)上对应于控制点

6、办t七>的坐标记为矿咖，将误差向量记2．2文献【1】中两个定理的证明文献[1】中不加证明的给出了定理2、定理3。下面我们将两个定理加以证明【541。文献【11中定理2硕士学位论文基于二次B样条的曲线，曲面逼近算法研究误差序列P忙)是一‘‘递减超向量序列”，即”H∥’卜·P’卜·超向量序列矿(。)(k=1，2，⋯)收敛于h‘，即魉榉’ll=脚卜∥lI-脚(n一)’(n脚)=o．1imb‘忙)=矿两定理表明办‘(t)和P∞分别收敛于办’和0。换言之，B一样条序列≯’(矿)逼近于特殊的分段曲线；(f)，其中；(，)为通过给定数据点的曲线，我们称

7、曲线s(f)为“B．样条插值曲线”。因为它即保证的B．样条方法的光滑性，又能同插值方法一注：所谓相等(硌)=砖)，砖4)-。=雄’)，是指在不记第一坐标x的意义下是一致，M纠1)文献【l】中定理3证明：巧础>=矿’(去)=三c，t譬，霄。>，t箬’，[三。芋÷][三]=丢磷>+詈矿>+吾磅>其中扛1，2，⋯，N，k表示迭代次数。又因硌)=砖)，碳。=雄)，可知92曲线理论研究=酽>=吉榴+三磺>+昙瑞则，迭代矩阵彳和控制点列办狂》可表示为：彳=办《I)_(拶，碍¨，穆)，⋯，樱。，彬，∥)r(七=l，2，⋯)其中，A为N+2阶严格对角占优

8、阵，则A可逆。由算法知，有如下关系式成立：而，10办‘隹)：Ah(k)硕士学位论文bo矿墙l一8+bK矸3—41—8+>l>矗肛妇。鳐l一83—4+>七<2肾陌弘叫4。卜8+>_1b曲¨Kk，