概率论答案chapter07

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1、第七章　参数估计1．随机地取８只活塞环，测得它们的直径为（以mm计）７４．００１　７４．００５　７４．００３　７４．００１７４．０００　７３．９９８　７４．００６　７４．００２２２试求总体均值μ及方差σ的矩估计值，并求样本方差s．２解总体均值μ的矩估计值，总体方差σ的矩估计值分别为nn＾珚x１１２μ＝＝n钞xi，＝n钞（xi－珚x）．i＝１i＝１由给出的观察值得＾１μ＝７４＋［０．００１＋０．００５＋０．００３＋０．００１８　＋０＋（－０．００２）＋０．００６＋０．００２］＝７４．００２，８＾２１２σ＝钞（xi－珚x）８i＝１１２２２＝［（－０．００１）＋０．００３＋０．００

2、１８２２２２２　＋（－０．００１）＋（－０．００２）＋（－０．００４）＋０．００４＋０］－６＝６×１０，８２１２８＾２８－６－６s＝钞（xi－珚x）＝σ＝×６×１０＝６．８６×１０．７i＝１７７＾２事实上，只需将观察值输入具有统计功能的计算器，就能直接读出珚x，σ和s．读者应掌握计算器的统计功能的用法．2．设X１，X２，…，Xn为总体的一个样本，x１，x２，…，xn为一相应的样本值．求下列各总体的概率密度或分布律中的未知参数的矩估计量和矩估计值．θ－（θ＋１）θcx，x＞c，（１）f（x）＝０，其他，其中c＞０为已知，θ＞１，θ为未知参数．θ－１θx，０≤x≤１，（２）f（x

3、）＝０，其他，其中θ＞０，θ为未知参数．第七章参数估计135mxm－x（３）P｛X＝x｝＝p（１－p），x＝０，１，２，…，m，x其中０＜p＜１，p为未知参数．∞∞θ－（θ＋１）解　（１）μ１＝∫xf（x）dx＝∫cxθcxdx－∞∞θ－θ＋１∞θ－θθcxcθ＝θc∫xdx＝＝，c－θ＋１cθ－１μ１由此得θ＝．μ１－c在上式中以X珡代替μ，得到θ的矩估计量和矩估计值分别为１珡X珚x＾θ＝，　＾θ＝．珡X－c珚x－c１１θ－１θθ（２）μ１＝∫０xθxdx＝∫０θxdx＝．θ＋１２μ１由此得θ＝．１－μ１在上式中以X珡代替μ１，得θ的矩估计量和矩估计值分别为珡X２２珚x＾θ

4、＝，　＾θ＝．１－珡X１－珚xμ１　　（３）因μ１＝E（X）＝mp，得p＝，以珡X代替μ１，得到p的矩估计量和矩估m计值分别为珡X珚x＾p＝，　＾p＝．mm3．求上题中各未知参数的最大似然估计值和估计量．解　（１）设x１，x２，…，xn是一个样本值．似然函数为nθ－（θ＋１）L＝L（x１，x２，…，xn；θ）＝∏θcxii＝１nn－（θ＋１）θn－（θ＋１）θn＝（θc）∏xi＝（θc）∏xi．i＝１i＝１nlnL＝n（lnθ＋θlnc）－（θ＋１）ln∏xi．i＝１nd１令lnL＝n＋lnc－钞lnxi＝０，dθθi＝１得θ的最大似然估计值为n１＾θ＝１钞lnxi－lnc，

5、ni＝１136概率论与数理统计习题全解指南θ的最大似然估计量为n１＾θ＝１钞lnXi－lnc．ni＝１（２）设x１，x２，…，xn是一个样本值．似然函数为nnθ－１n／２θ－１L＝∏（θxi）＝θ∏xi，i＝１i＝１nnlnL＝lnθ＋（θ－１）钞lnxi．２i＝１ndn１令lnL＝＋钞lnxi＝０，dθ２θ２θi＝１得θ的最大似然估计值为２n＾θ＝n，２钞lnxii＝１θ的最大似然估计量为２n＾θ＝n．２钞lnXii＝１　　（３）设x１，x２，…，xn是一个样本值．似然函数为nnmxm－xL＝P｛Xii∏i＝xi｝＝∏p（１－p）i＝１i＝１xinnnmxnm－x＝p钞i（

6、１－p）钞i，∏i＝１i＝１i＝１xinnnmlnL＝ln∏＋钞xilnp＋（nm－钞xi）ln（１－p），i＝１xii＝１i＝１nnd１１令dplnL＝钞xi－（nm－钞xi）１－p＝０，i＝１pi＝１得p的最大似然估计值为n钞xini＝１珚x１＾p＝＝，　其中珚x＝钞xi，nmmni＝１p的最大似然估计量为X珡＾p＝．m4．（１）设总体X具有分布律第七章参数估计137X１２３２２pkθ２θ（１－θ）（１－θ）其中θ（０＜θ＜１）为未知参数．已知取得了样本值x１＝１，x２＝２，x３＝１．试求θ的矩估计值和最大似然估计值．（２）设X１，X２，…，Xn是来自参数为λ的泊松分布总

7、体的一个样本，试求λ的最大似然估计量及矩估计量．（３）设随机变量X服从以r，p为参数的负二项分布，其分布律为xk－１rx－rP｛X＝xk｝＝p（１－p）k，　xk＝r，r＋１，…，r－１其中r已知，p未知．设有样本值x１，x２，…，xn，试求p的最大似然估计值．２２解　（１）（i）μ１＝θ＋２×２θ（１－θ）＋３×（１－θ）＝３－２θ．１解得θ＝（３－μ１），故得θ的矩估计值为２１＾θ＝（３－珚x）．２１１４＾５今珚x＝（x１＋x２＋x３）＝（１＋２＋１）＝，故θ的矩估计值为θ　＝．３３３６（ii）由给