数学建模流感问题模型

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1、摘要甲型H1N1流感为急性呼吸道传染病，其病原体是一种新型的甲型H1N1流感病毒，在人群中传播。与以往或目前的季节性流感病毒不同，该病毒毒株包含有猪流感、禽流感和人流感三种流感病毒的基因片段。人群对甲型H1N1流感病毒普遍易感，并可以人传染人，但是要提醒大家的是甲型H1N1流感是可防、可控的。只要积极作好预防，也是比较安全的。目前预防甲型H1N1流感的疫苗已投入使用。本论文通过建立甲流传染模型，分析被传人数多少与哪些因素有关，如何预报传染病高潮的到来，如何处理潜伏期等等问题。甲型H1N1流感问题的研究一﹑模型假设①.在甲流传播期

2、内所考察的地区范围不考虑人口的出生、死亡、流动等种群动力因素。总人口数N(t)不变，人口始终保持一个常数N。人群分为以下三类：易感染者(Susceptibles)，其数量比例记为s(t)，表示t时刻未染病但有可能被该类疾病传染的人数占总人数的比例；感染病者(Infectives)，其数量比例记为i(t)，表示t时刻已被感染成为病人而且具有传染力的人数占总人数的比例；潜伏期者（incubation），其数量比例为q(t),表示在t时刻，染病但未被发现、可感染、不可治愈，在潜伏期之后变为感染病者；恢复者(Recovered)，其数量

3、比例记为r(t)，表示t时刻已从染病者中移出的人数（这部分人既非已感染者，也非感染病者，不具有传染性，也不会再次被感染，他们已退出该传染系统。）占总人数的比例。②.病人的日接触率（每个病人每天有效接触的平均人数）为常数λ，感染者的日接触率（每个感染者每天有效接触的平均人数）为，日治愈率（每天被治愈的病人占总病人数的比例）为常数μ，显然平均传染期为1／μ，传染期接触数为σ=λ／μ。二﹑模型构成在以上三个基本假设条件下，易感染者从患病到移出的过程框图表示如下：在假设1中显然有：s(t)+i(t)+r(t)+q(t)=1对于病愈免疫的

4、移出者的数量应为（1）不妨设初始时刻的易感染者，染病者，恢复者的比例分别SIR基础模型用微分方程组表示如下：（2）上述（2）方程无法求出s(t)，i(t)的解析解，我们先做数值计算。三．数值计算在方程（2）中设λ=2，μ=0.4，i（0）=0.01，s（0）=0.99，用MATLAB软件编程：functiony=ill(t,x)a=0.91;b=0.4;c=1.1;d=1;y=[d*x(3)*x(2)-b*x(1),-a*x(1)*x(2)-c*x(2)*x(3),(a-d)*(x(2)*x(1)+x(3)*x(2))]';ts

5、=0:50;x0=[0.02,0.98,0.18];[t,x]=ode45('ill',ts,x0);[t,x];plot(t,x(:,1),'r',t,x(:,2),'g',t,x(:,3),'b');legend('病人','康复者','潜伏期者');pauseplot(x(:,2)+x(:,3),x(:,1));title('病人，潜伏期感染者与康复者相轨线');,四．相频线分析我们在数值计算和图形观察的基础上，利用相轨线讨论解i（t）,s（t）的性质。D=｛（s，i）

6、s≥0，i≥0，s+i≤1｝在方程（2）中消去并注意

7、到σ的定义，可得（3）所以：（4）利用积分特性容易求出方程(3)的解为：（5）在定义域D内,(4)式表示的曲线即为相轨线,如图3所示.其中箭头表示了随着时间t的增加s(t)和i(t)的变化趋向下面根据(1),(5)式和上图分析s(t),i(t)和r(t)的变化情况(t→∞时它们的极限值分别记作（,和).1.不论初始条件s0,i0如何,病人消失将消失,即：2.最终未被感染的健康者的比例是,在(5)式中令i=0得到,是方程在(0,1/σ)内的根.在图形上是相轨线与s轴在(0,1/σ)内交点的横坐标3.若>1/σ,则开始有，i(t)先

8、增加,令=0，可得当s=1/σ时,i(t)达到最大值：然后s<1/σ时，有，所以i(t)减小且趋于零,s(t)则单调减小至,如图3中由P1(，)出发的轨线4.若1/σ,则恒有，i(t)单调减小至零,s(t)单调减小至,如图3中由P2(s0,i0)出发的轨线可以看出,如果仅当病人比例i(t)有一段增长的时期才认为传染病在蔓延,那么1/σ是一个阈值,当>1/σ(即σ>1/s0)时传染病就会蔓延.而减小传染期接触数σ,即提高阈值1/σ使得≤1/σ(即σ≤1/),传染病就不会蔓延(健康者比例的初始值是一定的,通常可认为接近1)。并且,即

9、使>1/σ,从(19),(20)式可以看出,σ减小时,增加(通过作图分析),降低,也控制了蔓延的程度.我们注意到在σ=λμ中,人们的卫生水平越高,日接触率λ越小;医疗水平越高,日治愈率μ越大,于是σ越小,所以提高卫生水平和医疗水平有助于控制传染病的蔓延.从另一方