浅谈三角形面积计算方法__毕业论文

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1、浅谈三角形面积计算方法学生（理学院数学与应用数学专业2008级1班,学号:）指导教师:摘要：系统的阐述了三角形面积公式的由来及演变，结合中学知识加以应用，并对公式进行拓展，寻求新的证明公式的方法．关键词：三角形；面积；公式引言众所周知，数学作为一门科学，它是凝结了人类几千年智慧的结晶。与其它学科相比，数学的积累性很强，它的许多重大理论都是在原有理论的基础上继承和发展起来的，如果我们不去追溯古今数学思想方法的演变与发展，也就不可能真正了解数学的真谛。法国著名数学家庞加莱曾说：“如果我们想要预知数学的未来，最适合的途径就是研究数学这门

2、科学的历史和现状。”[1]所以要正确研究数学问题，首先要先了解其思想来源，这样才能正确的把握数学发展方向。在数学的平面几何学中，所有的平面封闭图形的面积均可近似化成若干个矩形面积与若干个三角形面积的和或差，所以研究三角形的面积计算方法就成为几何学中不可或缺的一部份。三角形作为平面几何中最简单的基本图形，在学习及日常生活中有广泛的应用。许多人对三角形面积公式很熟悉，但对于日常生活中有关面积的测算却时常会感到束手无策。其原因之一是对三角形其中所含的数学思想认识不足，对三角形面积公式的由来及演变不清楚，因此了解三角形面积公式的由来就显得

3、举足轻重了。一.三角形面积公式的由来人们对事物的认识总是遵循着从特殊到一般的规律。矩形是日常生活中常见且应用广泛的图形，它的面积为底高，而三角形的面积公式则可由矩形的面积公式推导，但推导三角形的面积公式首先要推导出直角三角形的面积公式。11若一个直角三角形的两条直角边分别为，，则可将两个这样的三角形拼成一个长和宽分别为，的矩形。换句话说，一个矩形可以由一条对角线分解为两个完全相同的直角三角形。所以直角三角形的面积公式对于任意三角形，可以通过任意一边上的高把它变成两个直角三角形的和或差。如图1-1，由直角三角形的面积公式，可得出任意

4、三角形的面积为底高。记的三角所对的边分别为，三条边上的高分别为，，，即　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1)图1-1以上就是对三角形面积公式的由来进行了简单的介绍。（参见文献[2]）二．三角形面积公式的演变三角形面积的计算不仅是中学平面几何中的重要内容，而且在日常生活和科学技术中也有着广泛的应用，现将几种常见的三角形面积公式归类总结如下：1.已知三角形底为，高为，则.在了解三角形面积公式的由来中，我们已经基本了解了求三角形面积最基本的公式，即（其中底为，高为），下面我们将从不同的角度来推导该公式。方法一：“割补”法（参见文献[

5、3]）如图2-1，选取两个完全相同的三角形，将其中一个三角形作高并沿着高将其剪成两个小三角形，然后将剪得的两个小三角形和另一个大三角形拼成一个长方形。经过观察可发现，原三角形的底相当于长方形的长，原三角形的高相当于11长方形的宽，即长方形的面积是三角形面积的倍，所以三角形的面积=底高．图2-1方法二：“折叠”法（参见文献[3]）如图2-2，将一个三角形折叠成一个长方形。图2-2整理可得长方形的面积=（底）（高）三角形的面积=（底）（高）=底高方法三：“倍拼”法（参见文献[3]）如图2-3，沿三角形的中位线，将其剪成一个小三角形和一

6、个梯形，把剪得的小三角形和梯形拼成平行四边形。经观察发现，所得的平行四边形的高是原三角形高的一半。因为平行四边形的面积=底（高），所以，三角形的面积=底高．图2-3而在三角形面积公式的推导中，我们常将其转化成数学语言来表示，下面是由平行四边形的面积推出任意三角形的面积公式。在平行四边形中，作，，则，故.11图2-4连结，则，故．2.根据三角函数求面积已知的三个角分别为，其对边分别为根据三角形高与边角之间的函数关系，代入（1），便得　　　　　　　　　　　　（2）3.海伦公式在中，其中．海伦公式是利用三角形的三条边求三角形的面积，据说

7、是希腊的数学家海伦提出，而据阿拉伯数学家比鲁尼称该公式最初是源于阿基米德，虽然这个考证也得到了公认，但人们还是习惯称该公式为海伦公式。由于任意边的多边形都可以分割成个三角形，所以可以利用海伦公式求多边形面积。4.秦九韶三斜求积公式已知三边则（“三斜求积”，南宋秦九韶）。在我国数学历史上，南宋著名的数学家秦九韶在所著《数书九章》中给出了另一个用三角形三边来求三角形面积的公式——三斜求积术，秦九韶的三斜求积术比海伦公式约早600年。11秦九韶把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，“术”即方法，三斜求积术就是：以小斜幂并大斜幂减中斜

8、幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积。[4]证明：由（2）式两边平方，得由余弦定理知，，代入上式，得　　　　　　　　　　　　　　　　（3）称为秦九韶三斜求积公式。若将变形为，再应用余弦定理，得应用平方差