数学课时作业与单元检测第三章 3.4（二）习题与答案

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1、§3.4　基本不等式：≤(二)课时目标1．熟练掌握基本不等式及变形的应用；2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．1．设x，y为正实数(1)若x＋y＝s(和s为定值)，则当x＝y时，积xy有最大值，且这个值为.(2)若xy＝p(积p为定值)，则当x＝y时，和x＋y有最小值，且这个值为2.2．利用基本不等式求积的最大值或和的最小值时，需满足：(1)x，y必须是正数；(2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为定值．(3)等号成立的条件是否满足．利用基本不等式求最

2、值时，一定要注意三个前提条件，这三个前提条件概括为“一正、二定、三相等”．一、选择题1．函数y＝log2(x>1)的最小值为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．－3B．3C．4D．－4答案　B2．已知点P(x，y)在经过A(3,0)，B(1,1)两点的直线上，则2x＋4y的最小值为(　　)A．2B．4C．16D．不存在答案　B解析　∵点P(x，y)在直线AB上，∴x＋2y＝3.∴2x＋4y≥2＝2＝4(x＝，y＝时取等号)．3．已知x≥，则f(x)＝有(　　)A．最大值B．最小值C．最大值1D．

3、最小值1答案　D解析　f(x)＝＝＝≥1.当且仅当x－2＝，即x＝3时等号成立．4．函数y＝的最小值为(　　)A．2B.C．1D．不存在答案　B解析　y＝＝＋∵≥2，而≤，所以不能用基本不等式求最小值，用函数的单调性求最值，函数y＝x＋在(1，＋∞)上是增函数，∴在[2，＋∞)上也是增函数．∴当＝2即x＝0时，ymin＝.5．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是(　　)A．3B．4C.D.答案　B解析　∵8－(x＋2y)＝2xy＝x·(2y)≤()2.∴原式可化为(x＋2y)2＋4(

4、x＋2y)－32≥0.∵x>0，y>0，∴x＋2y≥4.当x＝2，y＝1时取等号．6．若xy是正数，则2＋2的最小值是(　　)A．3B.C．4D.答案　C解析　2＋2＝x2＋y2＋＋＋＝＋＋≥1＋1＋2＝4.当且仅当x＝y＝或x＝y＝－时取等号．二、填空题7．设x>－1，则函数y＝的最小值是________．答案　9解析　∵x>－1，∴x＋1>0，设x＋1＝t>0，则x＝t－1，于是有y＝＝＝t＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当t＝，即t＝2时取等号，此时x＝1.∴当x＝1时，函数y＝取得最小值为9.8．已知正数a

5、，b满足a＋b－ab＋3＝0，则ab的最小值是________．答案　9解析　∵a＋b－ab＋3＝0，∴ab＝a＋b＋3≥2＋3.令＝t，则t2≥2t＋3.解得t≥3(t≤－1舍)．即≥3.∴ab≥9.当且仅当a＝b＝3时，取等号．9．建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为________元．答案　1760解析　设水池的造价为y元，长方形底的一边长为xm，由于底面积为4m2，所以另一边长为m．那么y＝120·4＋2·80·＝4

6、80＋320≥480＋320·2＝1760(元)．当x＝2，即底为边长为2m的正方形时，水池的造价最低，为1760元．10．函数y＝loga(x＋3)－1(a>0，a≠1)的图象恒过点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn>0，则＋的最小值为________．答案　8解析　∵A(－2，－1)在直线mx＋ny＋1＝0上，∴－2m－n＋1＝0，即2m＋n＝1，mn>0，∴m>0，n>0.∴＋＝＋＝2＋＋＋2≥4＋2·＝8.当且仅当＝，即m＝，n＝时等号成立．故＋的最小值为8.三、解答题11．已知x>0，y

7、>0，且＋＝1，求x＋y的最小值．解　方法一　∵＋＝1，∴x＋y＝(x＋y)·＝10＋＋.∵x>0，y>0，∴＋≥2＝6.当且仅当＝，即y＝3x时，取等号．又＋＝1，∴x＝4，y＝12.∴当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16.方法二　由＋＝1，得x＝，∵x>0，y>0，∴y>9.x＋y＝＋y＝y＋＝y＋＋1＝(y－9)＋＋10.∵y>9，∴y－9>0，∴y－9＋＋10≥2＋10＝16，当且仅当y－9＝，即y＝12时取等号．又＋＝1，则x＝4，∴当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16.12．某种生产设备购

8、买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的维修费各年为：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，而且以后以每年2千元的增量逐年递增，问这种生产设备最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的年平均费用最少)?解　设使用x年的年平均费用为y万元．由已知，得y＝，即y＝1＋＋(x∈N*)．由基本不等式知y≥1＋2＝3，当且仅当＝，即x＝10时取等号．因此使用10年报废最合算，年平均费用