方程解的个数问题的案例分析

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3、的案例分析啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊当a>1时，方程解的个数问题的案例分析嵊州爱德外国语学校林小庆一、问题的出

4、现湖北省部分重点中学2006届高三第二次联考选择题第12题：已知a>1，则函数的图象与其反函数的图象（）A．不可能有公共点B．不可能只有一个公共点C．最多只有一个公共点D．最多只有两个公共点许多平时数学成绩优秀的学生都选错了答案，有选A、选B，也有选C的，而正确答案为D。二、学生思路分析如此多的学生出错，我认为这个问题值得在试卷讲评时作深入的探讨。我决定让学生动手自己分析，让学生来争论，在争论中来解决问题。学生甲：因为a>1，所以采用特殊值法，如a=10，则在平面直角坐标系中作出函数和其反函数的图象，经观察，两者之间没有公共点。学生乙：既然采用特殊值法，如果取a=1.1，则同样作图，可以发

5、现有2个交点，则甲选特殊值a=10是不对的。学生丙：这说明交点的个数跟a的取值有关，a取得值大，则无交点，a取得值小，则有2个交点，是否存在只有一个交点的情况呢？学生丁：我们在学指数函数和对数函数的图象时知道，指数函数（a>1）的图象，当底数a越大，图象向上越与y轴越接近，而对函数（a>1）的图象当a的值越大图象向右与x轴越接近。由图象的直观性知，在a由小变大的过程中，两者的图象间由“亲密接触”到“公道扬镳”，这个过程中一定存在一个定值a。，此时两者的图象只有一个公共点。说明甲、乙两位同学的分析都有失偏颇。三、成因分析总结几位同学的分析，我在课堂上归纳出了主要的错误：当a>1时，方程无解；

6、漏了还可能有1个或2个解的情况。产生错误的根本原因对函数，的变化性质不清楚，而其解决常要用到微积分手段，这对学生来说，要求是够高的，在这个前提下，直接原因有两个：第一：受到图形特定位置或作图不准确的干扰，比如作一个的图象误以为（a>1）的图象都在y=x的上方，这可能受解选择题的特殊值法的影响缘故！3第二：对“互为反函数的图象关于y=x对称”作了错误推理：推出两图象的交点在y=x上，这是一个由来已久的逻辑性错误。四、问题的求解在学生发言的基础上，最后我提供了问题的正确思路及结论，便于学生在类似问题中的解决。当a>1时，方程的存在域为x>0，与互为反函数，图象关于直线y=x对称，对a>1，它们

7、都是增函数，由幂函数（x>1，α>0）为增函数知，当a1>a2时，对x>0，有a1x>a2x，因此a从接近于1开始增大时，的图象从上方穿入再穿出直线y=x。1．当a等于某一定数a0>1时，与直线y=x相切，有一个公共点，则方程有一个解。2．当a大于这一定值x0时，其图象愈来愈远离直线y=x，使得与直线y=x无交点，则方程无解。3．当a小于这一定值a0时，与直线y=x相交于两点，则方程有两解。可见，随着a由1开始增大，与直