基于四元数奇异值分解的图像质量评价方法

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1、基于四元数奇异值分解的图像质量评价方法摘要：关键词：四元数奇异值分解图像质量评价图像质量评价是图像处理的重要研究内容之一，作为算法性能评判及参数优化的重要指标，图像质量评价对于图像采集、压缩、编码、去噪、增强、水印、认证、存储、合成、复制等相关领域具有重要意义一。图像质量评价用来表征畸变图像相对于作为标准图像的原始图像的差异程度，其中的畸变图像主要指对原始图像进行如下变换：噪声（高斯、椒盐）、模糊（失焦、大气湍流、运动模糊）、有损压缩（JPEG、JPEG2000、SVD、小波）等。图像质量评价主要有主

2、观和客观两种方式。考虑到传统的主观质量评价不仅对实验条件要求有着苛刻的要求，而且实施步骤复杂，不能满足实时性的要求，客观质量评价吸引了更多关注。根据参考图像的存在与否，客观图像质量评价方法又可分为全参考、半参考和无参考三种算法。其中，对于全参考算法的研究最为深入，并将其分为：①基于物理信号差异的方法，包括常见的均方误差（MSE)，信噪比（SNR）和峰值信噪比（PSNR）等指标；②基于人言视觉系统（HVS）建模的方法。例如，视觉信噪比（VSNR）利用HVS的临界阈值和超阈值视觉感知特点改进SNR，以便更

3、好的吻合人眼视觉感知结果；③基于结构相似性的方法。假设结构信息丢失是造成图像质量下降的唯一原因，此类方法包括了结构相似度（SSIM)和它的多分辨版本（MSSSIM);④基于自然场景统计（NSS)的方法，包括信息置信度标准（IFC）和视觉信息置信度（VIF）。1.四元数基础1.1四元数及四元数矩阵的定义1983年，英国数学家哈密顿（HamiltonWR)创造了四元数[1],一个四元数q是四维空间中的一个数，它包含一个实部a和三个虚部b、c、d，其基本形式为：（1）其中，a、b、c、d是四个实数，基元i、

4、j、k满足（2）（3）四元数的全体记为，若矩阵，则称为阶四元数矩阵，阶四元数全体记为。1.2四元数矩阵的特征值和特征向量设为四元数矩阵，如果存在四元数及非零的四元数向量，使，称为的左特征值，为的属于左特征值的特征向量。同理，可以定义有特征值和特征向量的关系时：。1.3四元数的等价复矩阵设是的四元数矩阵，记作，如果，其中和是两个复矩阵，那么的等价复矩阵定义为。1.4四元数的等价实矩阵设，若，那么的等价实矩阵定义为1.奇异值分解和四元数矩阵的奇异值分解2.1奇异值分解[2]奇异值分解是一种有效的代数特征提

5、取方法。任意实数或复数矩阵可以分解成三个矩阵的乘积,其中、为正交矩阵，即，;为对角矩阵，即，，，被称为的奇异值，的列向量称为的左奇异向量，的列向量称为的右奇异向量，这就是奇异值分解（），也可以写成：(4)从线性代数的角度来看，一幅数字灰度图像可以看成是由对应位置像素的灰度值作为元素组成的实数矩阵，即图像矩阵，那么灰度图像（公式4）也可以被认为是个秩为的特征图以各自奇异值为权相加的总和。2.2四元数矩阵奇异值分解的存在性性定理[3]若是秩为的的四元数矩阵，则必存在两个四元数酉矩阵和，使得，其中，，均为正

6、实数，即为的奇异值，，符号是共轭转置。即对任意的的四元数矩阵可进行如下的奇异值分解：当然（单位矩阵）。文献[4]给出了四元数奇异值分解存在性的证明2.3四元数奇异值分解的意义[5]假设有，那么,。所以，四元数矩阵奇异值分解的意义是：（1）是和的实特征值对角阵。（2）和的列向量分别是和的特征向量。2.4四元数矩阵奇异值分解的算法第一步：给定四元数矩阵,求出的复表示矩阵；第二步：求出复矩阵的特征值和相应于的标准正交特征向量，记);第三步：计算并扩充形成的标准正交基，记第四步：利用复表示的逆变换，求出。彩色

7、图像的单个像素都是由三种基本颜色按一定比例组合而成的，包含R、G、B三分量的彩色图像的任一点处的像素都可用一个纯四元数（实部为）来表示，如式（5）：（5）式中，及表示图像中点处的红、绿、蓝三基色值，是虚数单位。因此，一幅的彩色图像就可以表示成一个的四元数矩阵，如下：（6）根据（5）式，可将（6）式表示为如下形式：（7）可以通过四元数矩阵与其等价实矩阵的关系来计算的奇异值分解：第一步：写出彩色图像四元数矩阵的等价实矩阵；第二步：计算实矩阵的奇异值分解，即，T表示转置；第三步：通过计算的奇异值，通过和计算

8、的两个四元数酉矩阵。3.基于四元数奇异值分解的质量评价算法3.1现有评价算法分析传统的图像质量评价算法[6]MSE和PSNR是基于亮度误差的图像质量评价，设原始图像其中M和N为图像的像素宽度和高度，畸变图像为，则有（8）（9）式中，可以亮度的最大值255代替。这两种算法简单，从整体上反映了原始图像和畸变图像的差别，能较好的评价图像之间的能量误差，但不能反映局部质量差异（比如少数像素有较大灰度差别而其余更多像素有较小灰度差别的情况），也不能评价图像的几何变