高中数学第2章统计23总体特征数的估计232方差与标准差知识导引学案苏教版必修3

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1、2.3.2方差与标准差平均数向我们提供了样本数据的重要信息，但是，平均数有吋也会使我们作出对总体的片面判断，某地区的统计报表显示，此地区的年平均家庭收入是io万元，给人的印象是这个地区的家庭收入普遍较高•但是，如果这个平均数是从200户贫困家庭和20户极富有的家庭收入计算出来的，那么，它就既不能代表贫困户家庭的年收入，也不能代表极富有家庭的年收入.因为这个平均数掩盖了一些极端的情况，而这些极端情况显然是不能忽视的.因此,只有平均数还难以概括样本数据的实际状态.案例探究甲、乙两班学生各50人，其语文平均

2、成绩都是80分，但甲班最高成绩98分，最低42分，而乙班最高成绩86分，最低60分.初步看出，两班语文成绩是不一样的，甲班学生的语文成绩个别差异程度大、水平参差不齐；而乙班学生的语文成绩差异程度小，语文水平整齐度大些.如果你是老师，你应当如何对这两个班的成绩作出评价呢？分析：我们把一组数据的最大值与最小值的差称为极差，由数据可知甲班的极差较大,数据点较分散，乙班的极差较小，数据点分布较集中，这说明乙班成绩比甲班稳定，运用极差对两组数据进行比较，操作简单方便，但如果两组数据的集中程度差界不大吋，就不容易

3、得出结论•我们还可以考虑每一个学生的成绩与平均成绩的离差，离差越小，稳定性就越高.结合上节有关离差的讨论，可用每个同学的成绩与平均成绩的差的平方和表示.市于两组数据的容量可能不同，因此应将上述平方和除以数据的个数，我们把rh此所得的值称为这组数据的方差（variance）.因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了离差的程度，我们将方差开方后的值称为这组数据的标准差（standarddeviation）.标准差也可以刻画数据的稳定程度.-般地，设一组数据xi,x?,…，xn,其平均数为x,则称S

4、*丄y（xf.-x）2为这个样本的方差，英算术平方根悅（毎_兀）2S二”（*）为样本的标准差，分别简称样本方差、样本标准差.根据上述方差计算公式可算出甲、乙两个班样本的方差，从而比较哪个班成绩好些.计算标准差时，首先要计算数据的平均数I，接着要计算各数据与平均数之间的离差平方，即（Xi-x）2,最后由公式（*）计算标准差S.例如，4名儿童的身高分别是110厘米，100厘米，120厘米和150厘米，若求4名儿童身高数据的标准差时，其基本步骤如下:（1）求平均数:110+100+120+150=120（厘

5、米）（2）求离差平方和:E(Xi-x)J(110-120)2+(100-120)2+(120-120)2+(150-120)=100+400+0+900=1400(平方厘米)(3)求标准差S：18.71(厘米)这样，我们大体可认为，这4名儿童身高差异程度，从平均角度来看，约相差18.71厘米.自党导引1.天气预报说今天最高气温7°C,最低气温一2°C,则今天气温的极差为多少？答案：9°C2.据统计，某小区居民中年龄最大的为89岁，年纪最小的为1岁，那么小区人口年龄的极差为多少？答案：88岁3.你认为下

6、面儿种说法中正确的是()A.一组数据的平均值总是正数B.-组数据的方差有可能是负数C.用一组数据中的每个数分别减去平均值，再将得到的差相加，和一定为零D.—组数据的标准差一定比方差小答案：C4.我们可以用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围.用这种方法得到的差称为极差.5.方差实际上是一种表示一组数据的离散程度的量,我们可以用“先平均，再求差,然后平方,最后再平均”的方法得到.6.标准差与方差有什么关系？这二者与原数据在单位上有什么关系？答案：标准差是方差的算术平方根，标准差与

7、原数据具有相同的单位，方差的单位是原单位的平方.7.反映数据离散程度的指标是什么？在一次数学测试中，甲、乙两班的平均成绩相同,甲班成绩的方差为42,乙班成绩的方差为35,这样的结果说明两个班的数学学习状况各有什么特点？答案：反映数据离散程度的指标是方差和标准差.甲班的方差大于乙班的方差，说明甲班的学生成绩较分散，优生和成绩差的学生较多.而乙班的学生成绩较集中，优生和成绩差的学生较少.8.观察下面的折线图，回答问题：(1)a组数据的极差较大.(2)8组数据的方差较大.1.比较下面两幅频数分布图中的数据，

8、哪组的平均值较大？哪组的标准差较大?答案：b组的平均值较大，a组的标准差较大.10.观察下面的儿组图，分别指出各组屮哪一组的标准差较大，并说说为什么.(1)(3)答案：（1）标准差相同，因为虽然数据排列不同，但其实是相同的两组数据；（2）b组的标准差较大，因为a组有一些数距离平均值较近；（3）b组的标准差较大，因为b组中每个数据都是a组中的两倍，因此标准差也是它的两倍.疑难剖析【例1】某校团委举办了英语口语竞赛.甲、乙两个团小组成绩如下:甲组：76908