多边形的内角和与外角和典型热点考题

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1、多边形的内角和与外角和典型热点考题　　例1已知：四边形的四个外角度数比为1∶2∶3∶4，求各外角的度数？　　点悟：考查四边形外角和定理，由四边形外角和定理和各外角之间的比例关系很容易求出各角．　　解：设四边形的最小外角为x°，则其他三角分别为2x°，3x°，4x°，根据四边形外角和定理：x°＋2x°＋3x°＋4x°=360°．　　∴x°=36°，2x°=72°，3x°=108°，4x°=144°．　　∴四边形各外角度数分别为36°，72°，108°，144°．　　点拨：本例应用了设参数x的代数方法求出四边形四个外角的

2、度数，不少的几何线段的计算，角的计算以及证明题，如果应用代数方法求解，可使过程简洁，清晰，特别是已知条件中如果出现比例关系时，采用设参数法是最常见的解题思路，通过设参数，结合几何知识，把问题转化为解方程，学生一定要掌握这种技巧．　　　　例2多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350°，求多边形的边数？　　解法一：设边数为n，这个外角为x度，则o＜x＜180，依题意有：(n-2)·180＋x=1350，　　∴.　　又∵O＜x＜180，∴-90＜90-x＜90，　　∴n=9.　　解法二：∵O＜x＜180；　　∴135

3、0-180＜1350-x＜1350；　　即1170＜1350-x＜1350，　　又∵(n-2)·180=1350-x，　　∴1170＜(n-2)·180＜1350.　　∴8.5＜n＜9.5；　　∵n的边数必为整数，∴n=9.　　注：此类题都隐含着边数为正整数这个条件．解法一是利用整数方程来解的．解法二是利用不等式确定边数范围然后通过边数为整数来解的．　　　　例3如图4-39，已知在四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=13，AD=12，∠B=90°．求：　　四边形ABCD的面积．　　点悟：由∠B=90°，AB=

4、3，BC=4，想到连接AC，利用勾股定理解题得AC=5，又AD=12，CD=13由勾股定理的逆定理有∠DAC为直角，从而.　　解：连结AC．在Rt△ABC中，有　　∴AC=5.　　∵CD=13，AD=12，有　　即.　　∴△ACD是直角三角形，∠DAC=90°，　　∴　　=　　=　　点拨：当题目中有线段长度时，一般利用勾股定理的逆定理判定某三角形是否为直角三角形．四边形问题通常转化为三角形问题来解决，在构造三角形时必须同已知条件结合起来，不要随意连线．　　　　例4一个n边形每个内角都是150°，则这个多边形的内角和是

5、多少？　　点悟：由于这个n边形每个内角都是150°，所以可以推知它的每个外角都为30°，而任意多边形的外角和都为360°，从而可以知道这个n边形的边数，再利用多边形内角和定理即可．　　解：方法一：∵这个n边形的每个内角都为150°，　　∴此n边形的每个外角为30°，　　又∵任意多边形的外角和为360°，　　∴n=360°÷30°=12.　　∴此n边形的内角和为180°(n-2)=180°×10=1800°．　　方法二：设这个多边形的边数为n，由题意得：150°·n=180°(n-2)．解这个方程，得n=12．则此多边

6、形的内角和为：180°(n-2)=180°×10=1800°．　　点悟：如图4-40，在n边形内部取一点O，连接O与各个顶点的线段，把n边形分成n个三角形，因为这n个三角形的内角和等于n·180°，以O为公共顶点的n个角的和是360°，即2×180°，所以n边形的内角和是n·180°-2×180°=(n-2)×180°．　　我们还可以这样求n边形内角和，如图4-41所示，作经过n边形某一个顶点的所有对角线，把n边形分成(n-2)个三角形，则n边形的内角和即为(n-2)个三角形的内角和．即(n-2)·180°．　　　　

7、例5已知一个多边形的每个内角都为钝角，则这样的多边形有多少个？边数最少的一个是几边形？　　点悟：此题首先要利用多边形内角和定理表示出每一个内角，然后列出不等式．　　解：设多边形是n边形，由题意得：　　即解得　　∴n＞4.　　∴内角都为钝角的多边形有无数个．　　又∵n＞4，n为整数，　　∴n的最小值为5，即边数最少的一个是五边形．　　注：对于此题的最后一个问题，实际上是对不等式附加某些条件，然后可求出具体未知数，但要注意的是，五个角都是钝角的五边形是存在的，但五四形不一定五个角都是钝角．　　点拨：如果有4个或4个以上内

8、角为锐角，那么与这些锐角相邻的外角都是钝角，所以这些外角的和将大于360°，这与多边形外角和恒等于360°相矛盾，故在多边形的内角中，锐角的个数不能多于3个