关于数学概念表征层次的研究

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1、第14卷第4期数学教育学报Vol.14,No.42005年11月JOURNALOFMATHEMATICSEDUCATIONNov.,2005关于数学概念表征层次的研究李善良江苏省教研室江苏南京210005摘要对于同一个数学概念不同学生的表征方式是多种多样的数学概念的表征层次具有某种纵向上的发展性倾向学生对数学概念的表征并不一定是概念的定义而可能是与概念定义同构或拟同构的表象也可能是对概念的自我修正概念表征的方式具有多样性反映学生对概念的理解水平数学概念表征网络中对于概念的表象多以标准图形原型特殊事例为主这些表象对掌握数学概念的本质起到过有

2、益的作用但对后继学习与运用也有极大的干扰作用关键词数学概念表征层次研究中图分类号G421文献标识码A文章编号1004–9894200504–0035–031问题提出式层次更高些例如对角这个概念的表征从小学二年级至大学许多观察与研究表明数学概念的表征具有不同的层数学系三年级学生的表征调查与实验材料中我们可以分解次这种层次反映着概念质的变化与差异一方面在概出以下层次念的逻辑水平上例如有理数从度量除法比到算子a实物与实物分不开具体材料表征商域绝对值从数轴上两点平面上的两点三维空间中b各种带角的图形与图形的平面区域分不开的两点到一般线性空间中的两

3、点之间的距离字母从一个图形表征数值到变量角从图形到数等都反映数学概念表征中的不c分离出角的图形角是图形图形表征同逻辑水平另一方面这种层次也反映在概念的思维水平d角的定义角是图形语言表征上范希尔Vanvile的几何及其它内容的思维水平研究e角的概念推广任意角角是图形符号表征表明学生从一个层次到另一个层次的转变不仅是概念的f角的概念推广角是实数符号表征逻辑水平的转变同时也是思维水平转轨与突变的时候此又如关于2/3的表征小学初中高中大学学生时学生对概念的理解将发生质的飞跃但这种质的转变却的不同表述大致可以分离出6种类型这些表征方式之间表[1]很

4、慢有些学生长期难以转变尽管学生用角计算时可现出不同的层次如表1从实数角度进行但在他们的表征中始终认为角是一个图表1表征方式之间的层次形这些质的差异反映出学生对数学概念的理解水平类型库奇曼Küchemana1976关于学生对字母的理解水平研实物图示定义运算除法比其它[2]五年级0.070.070.520.230.000.000.11究充分说明这一点初一0.040.070.280.040.470.040.06概念表征层次的研究对于数学概念的学习与教学有十初二0.060.100.310.040.290.150.05分重要的意义本文以角分数三角形

5、的高等13个数学高一0.040.070.300.070.380.100.04高二0.050.040.260.060.480.090.02概念的表征分析为基础对数学概念表征层次作初步探索大三0.060.050.430.050.260.120.032研究方法但是这里的表征层次并非对所有数学概念都是统一的对角三角形的高梯形等几何概念表征研究表明学生表征这对象小学二三四五年级初中一二年级高些概念一般是从具体材料图画图形语言符号系列逐中一二年级大学三年级学生各一百名左右步上升的低年级学生差生新手更倾向于用实物等具体方法选择13个数学概念分别设计5类

6、问题对这材料表征概念达到一定程度尤其是接触概念的定义后便13个概念的表征与在问题解决中的运用进行研究主要采可用概念的图形符号定义来表征概念即从形式化水平上用非结构式问卷访谈作业分析实验等方法表征概念根据学习内容的变更这种层次逐步改变呈上升3结论与讨论趋势例如角的概念在小学阶段学生表征时只达到锐角直对于问卷调查作业及有关实验的结果进行分析主要角钝角的水平尽管个别同学也能写出平角周角但仍不有以下结论认为理解平角周角也是角到初中阶段随着角的旋转1对于同一个数学概念不同的学生表征方式是多种定义及几何内容的进一步学习学生才自觉地把平角周角视多样的但

7、这些形式之间是有层次区分的概念的各种为角只有到高二年级阶段学生才将角的概念扩充为任意表征方式并非彼此地位平等一些方式可能比另一些方角而对绝对值方程函数极限导数等概念的表征学收稿日期2005–07–09基金项目江苏省教育科学十五规划课题D200101076作者简介李善良1962男江苏宿迁人博士副教授江苏省教研室教研员主要从事数学教育理论与实践研究万方数据36数学教育学报第14卷生语言或符号叙述非常清晰却难以找出恰当的实物或图形来的自我修正形式换句话说每个学生在进行概念内部表征造成这种现象的原因主要有两种一是对一些抽象概念表征时有自己的方式这

8、些方式可能互不相同但他们能借要找实际模型实质上是从抽象一一具体的运用其难度比概助自己特有的方式表征概念这些表征方式大多数是对概念念的语言或符号表征以及概念的运算性侧面要大二是学生只的本质属性的