资源描述：
《高考数学数列专题一__等差数列讲义》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、数列专题一等差数列【知识概要】1､等差数列的定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示｡2､等差中项:如果,,成等差数列,那么叫做与的等差中项即:或在一个等差数列中,从第2项起,每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项;事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项｡3､等差数列的判定方法:(1)定义法:对于数列,若(常数),则数列是等差数列｡(2)等差中项:对于数列,若,则数列是等差
2、数列｡4､等差数列的通项公式:5､等差数列的前n项和:6､等差数列的性质:(1)对于等差数列,若,则(2)对于等差数列,若,则(3)若数列是等差数列,是其前n项的和,,那么,,成等差数列｡【数学思想】等差数列的基本运算中涉及的数学思想方法有:函数与方程的思想,转化与化归的思想｡【典例分析】例1､一个等差数列前4项的和是24,前5项的和与前2项的和的差是27,求这个等差数列的通项公式.分析:将已知条件转化为数学语言,然后再解.解:根据题意,得=24,-=27则设等差数列首项为,公差为d,则解之得:∴=3+2(n-1)=
3、2n+1.(方程思想)例2､等差数列{}中,++=-12,且··=80.求通项分析:要求通项,仍然是先求公差和其中至少一项的问题而已知两个条件均是三项复合关系式,欲求某项必须消元(项)或再弄一个等式出来解:+=2=-10,=2或=2,=-10∵d=∴d=3 或-3∴=-10+3(n-1)=3n-13或=2-3(n-1)=-3n+5(灵活运用等差数列性质减少计算量)例3､在等差数列{}中,已知++++=450,求+及前9项和.解:由等差中项公式:+=2,+=2由条件++++=450,得5=450,=90,∴+=2=18
4、0.=++++++++=(+)+(+)+(+)+(+)+=9=810.(灵活运用等差数列性质减少计算量)例4､在等差数列中若,,求.解:∵6+6=11+17+7=12+2……∴……∴+2∴=2-=2×80-30=130(整体代换的思想)例5､如果一个等差数列的前12项和为354,前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32:27,求公差;分析:等差数列的奇数项成等差数列,偶数项也成等差数列,等差数列中通项公式和前n项和公式中五个量,只要知道其中三个,就可以求其它两个,而是基本量.解:设等差数列首项为,公差为d,则(方程
5、思想,子数列)例6､已知5个数成等差数列,它们的和为5,平方和为,求这5个数.解:设三个数为a,公差为d,则这5个数依次为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d依题意:(a-2d)2+(a-d)2+a2+(a+d)2+(a+2d)2=且(a-2d)+(a-d)+a+(a+d)+(a+2d)=5即a2+2d2=且a=1∴a=1且d=当d=时,这5个数分别是-､､1､､;当d=-时,这5个数分别是､､1､､-.(巧设等差数列)例7､设等差数列{an}的前n项和为Sn已知a3=12,S12>0,S13<0.(Ⅰ)求公差d的
6、取值范围;(Ⅱ)指出S1,S2,…,S12,中哪一个值最大,并说明理由.解:(Ⅰ)依题意,有,即由a3=12,得a1=12-2d(3)将(3)式分别代入(1),(2)式,得,∴(Ⅱ)由d<0可知a1>a2>a3>…>a12>a13因此,若在1≤n≤12中存在自然数n,使得an>0,an+1<0,则Sn就是S1,S2,…,S12中的最大值由于S12=6(a6+a7)>0,S13=13a7<0,即a6+a7>0,a7<0由此得a6>-a7>0因为a6>0,a7<0,故在S1,S2,…,S12中S6的值最大｡(此题可引申拓
7、展,等差数列前n项和最值问题——数列方法,函数方法)例8､等差数列{an}的前n项和Sn且S5=-5,S10=15,求数列{}的前n项和Tn.解:设数列{an}的公差为d,首项为a1,由已知得5a1+10d=-5,10a1+45d=15解得a1=-3,d=1∴Sn=n(-3)+∴∵∴{}是等差数列且首项为=-3､公差为∴Tn=n×(-3)+(等差数列的判定,函数思想)【练习反馈】1､数列{an}是首项为2,公差为3的等差数列,数列{bn}是首项为-2,公差为4的等差数列若an=bn,则n的值为()(A)4(B)5(C
8、)6(D)72､在等差数列{an}中,am=n,an=m,则am+n的值为()(A)m+n(B)(C)(D)03､在等差数列{an}中,若a1+a4+a7=39,a2+a5+a8=33,则a3+a6+a9的值为()(A)30(B)27(C)24(D)214､一个直角三角形的三条边成等差数列,则它的最短边与最长边的比为()(A)4∶5(B)5∶1
