研究生数理统计习题部分解答

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1、12研究生数理统计习题部分解答第六章抽样分布1．（1994年、数学三、选择）设是来自总体的简单随机样本，是样本均值，记，，，则服从自由度的分布的随机变量是（）。....[答案：选]当时，服从自由度的分布的随机变量应为、由，而不是、由。2．（1997年、数学三、填空）设随机变量相互独立，均服从分布且与分别是来自总体的简单随机样本，则统计量服从参数为（）的（）分布。[答案：参数为（）的（）分布]解：由相互独立，均服从分布，又与分别来自总体，可知与之间均相互独立，均服从分布因而，，，，且与相互独立，因而服从参数为的分布。1．（1998年、数学三、填空）设是

2、取自正态总体的简单随机样本且，则（），（）时，统计量服从分布，其自由度为（）。同学习指导文件综例6.9.1[答案：（），（）时，统计量服从分布，其自由度为（）]由统计量设即由可知，，且若统计量服从分布，则由，可知自由度为且服从标准正态分布，即，，。1．（1999年、数学三、证明）设是取自正态总体的简单随机样本，，，，证明统计量服从自由度为的分布。证明：记（未知），易见，由于和相互独立，可见，从而由正态总体样本方差的性质，知由于与独立、与以及与独立，可见与独立。于是，由服从分布的随机变量的结构，知。2．（2001年、数学三、填空）设总体X服从正态分布,

3、而是来自总体的简单随机样本，则随机变量服从（）分布，参数为（）。同学习指导文件综例6.9.3[答案填：F(10,5)]解：且显然此二者相互独立，则：1．（2001年、数学四、计算）设总体X服从正态分布，从中抽取简单随机样本，（），其样本均值为，求统计量的数学期望E(Y)。解：魏宗舒1.设是来自服从参数为的泊松分布的样本，试写出样本的联合分布律。2.解                2.设是来自上的均匀分布的样本，未知（1）写出样本的联合密度函数；（2）指出下列样本函数中哪些是统计量，哪些不是？为什么？（3）设样本的一组观察是：0.5,1,0.7,0.

4、6,1,1,写出样本均值、样本方差和标准差。   2. 解 （1）                                  0           其他（2）和是，和不是。因为和中不含总体中的唯一未知参数，而和中含有未知参数。（3）样本均值样本方差实际应为除以n-1样本标准差。1.查表求，，，。3.解 ，，，。      4.设，求常数，使。   4.解 由t分布关于纵轴对称，所以即为。由附表5.6可查得，所以。   5.设是来自正态总体的样本，试证：（1）；（2）。5.证明：（1）独立同分布于，由分布的定义，，即。（2）易见，，即，由分布

5、的定义，，即。  6.设是独立且服从相同分布的随机变量，且每一个都服从。（1）试给出常数，使得服从分布，并指出它的自由度；（2）试给出常数，使得服从t分布，并指出它的自由度。6.解（1）易见，即为二个独立的服从的随机变量平方和，服从分布，即；自由度为2。（2）由于，则。又，与相互独立，则即            即，自由度为3。      7.设是取自总体的一个样本，在下列三种情况下，分别求：（1）；（2）；（3），其中。   7.解  （1）        （2）（3），其中  8.某市有100000个年满18岁的居民，他们中10%年收入超过1万，

6、20%受过高等教育。今从中抽取1600人的随机样本，求：（1）样本中不少于11%的人年收入超过1万的概率；（2）样本中19%和21%之间的人受过高等教育的概率。   8.解（1）引入新变量：  1，第个样本居民年收入超过1万      0，第个样本居民年收入没超过1万其中易见：又因，故可以近似看成有放回抽样，相互独立。0-1分布Ex=p,Dx=pq样本中年收入超过1万的比例即为，由于较大，可以使用渐近分布求解，即，所求概率即为（2）同（1）解法引入新变量：  1，第个样本居民受过高等教育      0，第个样本居民未受过高等教育其中答：（1）样本中不

7、少于11%的人年收入超过1万的概率为0.0918；（2）样本中19%和21%之间的人受过高等教育的概率为0.6826。   9.设总体，（1）抽取容量为36的样本，求；（2）抽取容量为64的样本，求；（3）取样本容量n多大时，才能使。9. 0.9916，0.8904，96。  10.设总体，皆未知，已知样本容量，样本均值，修正样本方差，求。10.0.5。  11.设是来自正态总体，容量为的样本，求下列统计量的抽样分布：（1）；（2）；（3）。  11.(1)；（2）；（3）。12.若，则服从什么分布？12.。   13.设是来自泊松分布的一个样本，与

8、分别为样本均值与样本方差，试求。13.，，。   14.某区有25000户家庭，10%的家庭没有汽车，今有1