南京市金陵中学2011届高三数学调研测试卷

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1、南京市金陵中学2011届高三数学调研测试卷考试时间：120分钟2011年1月14日一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,计70分.（不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上）.1、若，则_____.2、存在实数，使得成立，则的取值范围是______.3、已知数列为等差数列，且，则=______.4、已知向量，若与垂直，则______.5、△中，三内角、、所对边的长分别为、、，已知，不等式的解集为，则_____________6、已知函数和的图象的对称中心完全相同，若，则的取值范围是_____.7.若实数、{，，，}

2、，且，则曲线表示焦点在轴上的双曲线的概率是．8.已知，且关于的函数在上有极值，则与的夹角范围为_____.9．在△ABC中，，D是BC边上任意一点（D与B、C不重合），且，则等于．10．不等式对于一切非零实数均成立，则实数的取值范围是。11．已知向量，设向量，则。12．设，若函数在区间上是增函数，则的取值范围是。13．对于函数，下列结论正确的是。①②有两个不等的实数解；第8页共8页③在R上有三个零点；④14、设是椭圆上任意一点，和分别是椭圆的左顶点和右焦点，则的最小值为．二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文

3、字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内.15、（本小题满分14分）已知向量，，定义函数.（1）求的最小正周期；（2）若△的三边长成等比数列，且，求边所对角以及的大小．16、（本小题满分14分）如图，四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥CD．PABCD·F·E（Ⅰ）求证：CD⊥PD；（Ⅱ）若AD＝2，BC＝3，F为PD中点，BE＝，求证：EF∥平面PAB．第8页共8页17、（本小题满分15分）某化工企业2007年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每

4、年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．（1）求该企业使用该设备年的年平均污水处理费用（万元）；（2）问为使该企业的年平均污水处理费用最低，该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备？18、（本小题满分15分）如图，已知圆心坐标为的圆与轴及直线分别相切于、两点，另一圆与圆外切、且与轴及直线分别相切于、两点．（1）求圆和圆的方程；（2）过点B作直线的平行线，求直线被圆截得的弦的长度．第8页共8页19、（本小题满分16分）设为数列的前项之积，

5、满足．(1)设，证明数列是等差数列，并求和；(2)设求证：．20、（本小题满分16分）函数．（1）试求的单调区间；（2）当时，求证：函数的图像存在唯一零点的充要条件是；（3）求证：不等式对于恒成立．第8页共8页南京市金陵中学2011届高三数学调研测试卷参考答案一、填空题1、2、3、4、25、6、7、8、9、10、11、12、13、①②④14、二、解答题15、解：(1)f(x)＝p·q＝(sinx，cosx)·(cosx，cosx)＝sinxcosx＋cos2x………………2分＝sin2x＋·＝sin2x＋cos2x＋＝sin(

6、2x＋)＋.………………………………………………………………………………4分∴f(x)的最小正周期为T＝＝π.………………………………………………………………6分(2)∵a、b、c成等比数列，∴b2＝ac，………………………………………………………7分又c2＋ac－a2＝bc.∴cosA＝＝＝＝.…………………………………………………10分又∵0

7、解：（1）即（）；（不注明定义域不扣分，或将定义域写成也行）（2）由基本不等式得：第8页共8页（万元）当且仅当，即时取到等号．答：该企业10年后需要重新更换新设备．18．解：（1）由于⊙M与∠BOA的两边均相切，故M到OA及OB的距离均为⊙M的半径，则M在∠BOA的平分线上，同理，N也在∠BOA的平分线上，即O，M，N三点共线，且OMN为∠BOA的平分线，∵M的坐标为，∴M到轴的距离为1，即⊙M的半径为1，则⊙M的方程为，-------------------------------4分设⊙N的半径为，其与轴的的切点为C，连接

8、MA、MC，由Rt△OAM∽Rt△OCN可知，OM：ON=MA：NC，即，则OC=，则⊙N的方程为；----------8分（2）由对称性可知，所求的弦长等于过A点直线MN的平行线被⊙截得的弦的长度，此弦的方程是，即：，圆心N到该直线的距离d=，则弦长=．另解：求得B（），再