数学立体几何大题.docx

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1、立体几何大题1．（本小题满分14分）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，∠ABC=90°，D为AC中点，于，延长AE交BC于F，将ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，如图2所示．（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCD；（Ⅱ）求二面角A–DC–B的余弦值．EBCADF（Ⅲ）在线段上是否存在点使得平面？若存在，请指明点的位置；若不存在，请说明理由．2．（本小题满分14分）如图，在四棱柱中，底面和侧面都是矩形，是的中点，，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：//平面；ABA1B1DCED1C1（Ⅲ）若平面与平面所成的锐二面角的大小为，求线段的长度．3（本小题满分分）如图，

2、在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，分别为,中点，．（I）求证：平面;（II）求二面角的余弦值；（III）在棱上是否存在一点,使平面?若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由．4．（本小题满分分）如图，在三棱锥中，底面为的中点，为的中点，（I）求证：面；（II）求与平面所成角的正弦值（III）设点在线段上，且平面，求实数的值．1．（Ⅰ）因为平面平面，交线为，又在中，于，平面所以平面．————————————————3分（Ⅱ）由（Ⅰ）结论平面可得．由题意可知，又．如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系——4分不妨设，则．由图1条件计算得

3、，，，则———————5分．由平面可知平面DCB的法向量．————————————————6分设平面的法向量为，则即令，则，所以．—————————————————8分平面DCB的法向量为所以，所以二面角的余弦值为—————————————9分（Ⅲ）设，其中．由于，所以，其中————————————————10分所以————————————11分由，即———————————12分解得．——————————————13分所以在线段上存在点使，且．———————14分2．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为底面和侧面是矩形，所以，，又因为，所以平面，……………………

4、…………2分因为平面，ABA1B1DCED1C1zyxFG所以．………………………………4分（Ⅱ）证明：因为，所以四边形是平行四边形．连接交于点，连接，则为的中点．在中，因为，，所以．………………………………6分又因为平面，平面，所以平面．………………………………8分（Ⅲ）解：由（Ⅰ）可知，又因为，，所以平面．………………………………9分设G为AB的中点，以E为原点，EG，EC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴如图建立空间直角坐标系，设，则．设平面法向量为，因为，由得令，得．……………………………11分设平面法向量为，因为，由得令，得．……………………………12分

5、由平面与平面所成的锐二面角的大小为，得，………………………13分解得．……………………………14分3．（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）如图，连结．因为底面是正方形，所以与互相平分．又因为是中点，所以是中点．在△中，是中点，是中点，所以∥．又因为平面，平面，所以∥平面．……………4分（Ⅱ）取中点．在△中，因为，所以．因为面底面，且面面，所以面．因为平面所以．又因为是中点，所以．如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系．因为，所以，则，，，，，，，．于是，，．因为面，所以是平面的一个法向量．设平面的一个法向量是．因为所以即令则．所以．由图可知，二面角为锐角，所以二

6、面角的余弦值为．…10分（Ⅲ）假设在棱上存在一点，使面．设，则．由（Ⅱ）可知平面的一个法向量是．因为面，所以．于是，，即．又因为点在棱上，所以与共线．因为，，所以．所以，无解．故在棱上不存在一点，使面成立．……………14分4．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为底面，底面，所以，………………1分又因为，，所以平面，………………2分又因为平面，所以．………………3分因为，是中点，所以，又因为，所以平面．………………5分（Ⅱ）解：在平面中，过点作因为平面，所以平面，由底面，得，，两两垂直，所以以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴如图建立空间直角坐标系，则，，，，，

7、．………………6分ABCPHMNzxyD设平面的法向量为，因为，，由得令，得．………………8分设与平面成角为，因为，所以即．………………10分（Ⅲ）解：因为，，所以，又因为，所以．………………12分因为平面，平面的法向量，所以，解得．………………14分