应用参考8 在系统描述和辨识中的应用

《应用参考8 在系统描述和辨识中的应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、在系统描述和辨识中的应用Euclid空间、酉空间的基础知识都有广泛应用，但受专业化约束和本书篇幅限制，这里只介绍奇异值分解在系统描述和辨识中的应用．1静态系统的奇异值分解以电子器件为例，我们来考虑静态系统的奇异值分解．假定某电子器件的电压v和电流i之间存在下列关系(即静态系统模型)：，(1)矩阵M的元素限定取的允许值．若所用的电压和电流测量装置具有相同的精度(比如1%)，则可以很容易检测任何一组测量值是或不是(1)在期望的精度范围内的解．假定我们用各种方法得到另外一个矩阵表达式：．(2)显然，只有当电流非常精确测量时，一组测量值才会以合适的精度满足(2)；而对于电流测

2、量有1%的测量误差的一般情况，(2)与静态系统模型(1)是大相径庭的：(1)给出的电压关系为v1－v2=0，而(2)给出的电压关系则是v1－v2+104=0．然而，从代数的角度看，(1)和(2)是完全等价的．因此，我们希望能够有某些手段来比较几种代数等价的模型表示，以确定哪一个是我们所希望的、适用一般而不是特殊情况的通用静态系统模型．解决这个问题的基本数学工具就是奇异值分解．更一般地，考虑n个电阻的静态方程：，(3)这里M是一个m´n矩阵．为了简化表示，我们将一些不变的补偿项撤去了．这样一种表达式是非常通用的，它可以来自某些物理装置(例如线性化的物理方程)和网络方程．

3、矩阵M对数据的精确部分和非精确部分的作用可以利用奇异值分解来进行分析．令M的奇异值分解为，(4)则精确部分和非精确部分的各个分量被矩阵M的奇异值，0，…，0作不同的大小改变．若(3)是物理装置设计的准确规格，则矩阵M的奇异值分解将提供一个代数等价，但在数值上是最可靠的设计方程．注意到U是一正交矩阵，所以由(3)和(4)有．(5)若将对角矩阵∑分块为，并将正交矩阵V作相应的分块：，其中(A，B)是V的前r行，则(5)可以写为．从而我们得到与(3)在代数上等价，但在数值上却最可靠的表达式：=0．(6)若(3)是物理装置的不精确模型，则对角矩阵的对角线上就不会出现零奇异值．

4、这时，我们就不能够直接使用(6)．在这种情况下，需要对模型进行修正，方法是令所有奇异值等于零，其中s是满足/小于矩阵M的元素所允许的精确度(即物理装置的测量精确度)的最小整数．于是，(6)中的(A，B)修正为V的前s－1行．有关结果表明，这样一种修正可以使参数的变化限制在预先设定的误差范围内．现在考虑一个电阻性的多端对(电阻、电导、混合参数、传导和散射等)的不同表达式，我们的目的是寻找一个尽可能最优的表达式．例如，使用端对坐标x和y，电阻性多端对的显式表示为，其中Ω．(7)通过选择合适的坐标变换Ω，就可以得到电阻、电导、任意混合参数或散射或传导的表达式．因此，矩阵L的

5、条件数就代表从x到y的信噪比放大倍数的上限．若L可逆，则该条件数也是从y到x的信噪比放大倍数的上限．因此，不同的表达式就可以根据它们的条件数进行排队．这就使得所有参数化表达式一目了然．显然，最佳的情况是条件数cond(A)=1或L是一正交矩阵(包含一比例因子)．一个自然的问题是，任何一个多端对的电阻器是否有一个最优的表达式？也就是说，是否存在使得cond(L)=1的正交矩阵L？为此，我们来看一个n维n端对的电阻器的隐含表达式：，rankM=n(8)应用M的奇异值分解(4)，则得(6)式，其中r=n．选择正交坐标变换，(9)这样一来，我们就可以利用Ω的正交性将隐含表达式

6、(6)表示成，即．(10)由此得到，利用(4)的奇异值分解可以得到(9)所示的正交变换，而通过此正交变换，即可得到一个在数值上最优的显式关系y=x．2系统辨识考虑时不变、线性离散时间的多变量系统，它具有状态空间表示，(11)这里u(k)，y(k)和x(k)分别表示在时间k的输入(m向量)，输出(l向量)和状态向量，向量x(k)的维数是最小的系统阶数n．A，B，C和D是待辨识的未知系统矩阵．系统辨识问题的提法是，只利用记录输入/输出数据uk,uk+1,…和,…辨识系统矩阵A，B，C和D．Moonen等人证明，状态向量序列可以仅根据输入/输出测量计算如下：将H1和H2定义

7、为，，其中j≥2(m+l)i，并定义状态向量序列，则在一定条件下，有spanrowx=spanrowH1∩spanrowH2，这里spanrowA表示A的行空间．因此，此交集的任何基都组成一个合适的状态向量序列x，它具有与相邻行向量相同的基向量．一旦(xk+i,xk+i+1,…,xk+i+j-1)已知，则系统矩阵可以通过求解(超定的)线性方程组辨识．上述结果构成了两步辨识方法的核心．第一步，由H1和H2张成的行空间的交可以通过矩阵H=的奇异值分解求出：其中.根据可以得出结论：等于所需要的交集．然而，包含有2li－n个行向量，其中只有n个(交集的维数)