对称性在电磁学中的应用

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1、对称性在电磁学中的应用土木五班李培军1004010534摘要：对称性原理在物理学中是一个重要且得到普通应用的规律，本文从普通物理教学的角度简要的介绍了对称性的概念和原理，并结合对称性原理在电磁学中的若干应用举例，比较详细地阐述了应用对称性原理解题的一般思路和方法。关键词：对称性电场强度磁感应强度电路用对称性分析来简化问题根源于“对称性原理”：原因中的对称性必反映在结果中，结果中的对称性至少有原因中的对称性那么多。或者反过来说：结果中的不对称性在原因中必有反映，即原因中的不对称性至少有结果中的不对称性那么多。在结果不唯一的情况下，上述原理可改为：原因中的对称性必然反映

2、在全部可能的结果中，即全部可能结果的集合中的对称性至少有原因中的对称性那么多。根据此原理，在电磁学中如果场源（原因）具有某种对称性，那么场强（结果）必然也具有这种对称性。对于对称性很高的体系，求场强的一般分析步骤如下：1、对称性分析。尽可能多地分析出场源的对称性，从而在为求解前获得关于场强的尽可能多的信息。2、根据对称性做出积分区域（闭合曲面或闭合路径），把积分用场强显示表达。这里积分区域的做法一定要使已有的对称性尽可能地被利用上。3、利用积分形式的物理规律求场强。根据上述所说，我们对电磁学中几种常见的问题进行处理，可以达到明晰思路和逻辑的目的。用这种新的处理方式，

3、可以明显地看出对称性分析在此类问题中的重要地位。1.利用对称性进行电磁学相关问题的研究1.1利用对称性可定性分析出电场、磁场的分布电磁力具有空间旋转对称性，即在空间不存在某个占有优势的有所区别的方向。例如真空中两个相对静止的点电荷间的相互作用，由库仑定律决定：以q1为施力电荷，则q2无论放在哪个方位上，只要与q1的距离r12大小不变，其受力大小均相同，没有哪个方向占优势，力方向总沿着q1与q2连线方向。由此我们还得出点电荷q产生的静电场沿径矢方向，该场具有球对称性.电场线图示与分布函数均表明了静止点电荷q的电场的球对称性分布特点。当场源电荷情况变化时该对称性也不复存

4、在。如当该点电荷q以速度沿着方向做匀速直线运动时，其电场的球对称性必然被破坏，电场仍在方向，但电场线的分布不再各项均匀，在与垂直的方向比较密集。1.2利用对称性可以得到一些直观的结论，从而简化计算过程1.2.1利用对称性原理，计算均匀带电细棒在中心轴线处任意电的场强求一段长为2L线点和密度为的带电细棒在中心轴线处P点所产生的场强。设P点与带电细棒的垂直距离为（如图3）OxL图3带电棒在P点产生的场强一般而言，场强是矢量，求场强需要解出每个分量的大小。不过此题有一个显著的特点，就是带电细棒关于其中垂线对称，因此我们可以建立如图所示坐标系。则细棒上微元dy在P点产生的电

5、场在y轴方向上的分量（dEy）必然会与dy´（与dy关于轴线对称）在P点产生电场的相应分量抵消。因此我们只需考虑沿X轴方向上的电场分量dEx,对其求积分即可。易得1.2.2利用对称性原理，可证明无限长均匀带电直导线周围的电场在垂直于导线的平面内呈径向分布。zyxprO图4z图5有一长直带电直导线，并建立柱坐标系0-rz如图4设任一场点P的电场强度为：由于带电导线无限长，故对于垂直于导线的任意平面（r-平面）（见图5）导线是对称的，而其产生的电场强度在对该平面的镜像反射操作中，与该面垂直的分量Ez是反向的。故矢量不可能有Ez分量，另外对于含导线的任意平面（r-z平面）

6、导线也是对称的（见图6）zyx图6一长直带电导线的任一平面场强在对该平面的镜面反射操作中与该面垂直的分量Eθ是反向的，故矢量不可能有分量。综上所述，场强仅有方向分量，场强的方向只能沿方向，即沿径向。这表明无限长均匀带电导线周围的电场具有轴对称性。2.关于电磁学中心对称问题2.1一长直带电细棒中心轴线上的场强求解求一段长为L，带电量为q的细棒在中心轴线上P点所产生的场强。avOLpxydE图7带电量q细棒在p点产生的场强建立如图7所示坐标系，在带电细棒离O点为l处取长度元dl，dl上的电量为dq，设dl到P点的距离为r，dq在P点处产生的场强dE的大小为方向如图7，d

7、E在x,y方向的分量分别为、。由图可知，，故；且由棒的对称性知===在计算电场强度E和磁感应强度B时，对称性分析是必不可少的，场源分布的对称性使其电场或磁场也具有相应的对称性。2.2一带电半球壳球心处的场强的求解一半径为R的半球壳，均匀带有面电荷，电荷面密度为+σ，求球心O处的场强E。（图8）图8半径为R的半球壳本题可用叠加法求解，参与叠加的元场强可以为等效点电荷的电场或等效细圆环的电场。在P点处，取球坐标系下的面元其带电dq在O点产生的电场在与dq对称位置取电荷元dq,在O点产生电场由对称性分析可知与关于z轴对称，则Ex=0,Ey=0,由表明仅有Z方向分量，于