三角函数化简与求值的常用技巧

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1、三角函数化简与求值的常用技巧文/寇友松一、角度变换这类问题的特点很明显，通常我们只需要把题设中的角度进行适当的和差运算，便可与所求式中的角度建立起等式关系，进而利用两角和与差的三角展开式求得结果.常见的角度变换有：，，，，，等.高考预测题1已知，，且，，求和的值.解析联系已知条件中的角度与所求关系式中的角度间的关系，容易观察出，，从而可利用两角和与差的正弦展开式和余弦展开式进行求解.，且，∴.又，且，∴.∴.同理得.二、切、割化弦当已知式子中出现切、割、弦的混合结构式时，化切、割为两弦是常用的三角函数求值技巧.高考预测题2求的值.解

2、析原式.三、公式的活用与变形学生对三角函数公式的应用不仅要会正用，还要善于活用和变形应用，只有这样，才能达到熟练掌握公式的目的.如常变形为以下三种形式：(1)(2)(3)高考预测题3=.解析将两角和的正切公式变形得，故原式高考预测题4=.解析观察到式中的倍角关系，可考虑借助二倍角的正弦公式的变形式来求解.故小结：通过对倍角公式的变形应用，我们可以得到如下结论：四、对偶法在三角学中，如果把某个三角式中的角的弦值化成同角互余(名)的弦值，则该式叫做原式的对偶式.在解决有关问题时，如果能灵活地运用对偶的数学思想，合理地构造对偶式，并能与原

3、式进行和、差、积的运算，就能使问题巧妙地得到解决.高考预测题5=.解析整体看待上式，然后构造出它的对偶式，从而使原问题化难为易.设由倍角公式可得，显然由得，故五、齐次式高考预测题6已知(1)求的值；(2)求的值.解析关于正弦、余弦的齐次式和齐次分式，如等，可将其转化为关于的表达式，进而求值.(1)∴将的分子和分母同时除以得，=(2)六、正、余弦定理法高考预测题7=.解析因为上述表达式的结构特点与余弦定理的表达式很相似，所以可考虑构造特定的，然后借助正、余弦定理来求解.由正、余弦定理得，于是原式.令则有原式七、和差代换高考预测题8=.

4、解析本题除了可以利用正、余弦定理法求解外，还可以适当地引入参量，然后借助和差代换的方法达到求解的目的.设于是故原式