pia 方法数值效率分析

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1、一类新型拟合方法的误差估计及其应用邓少辉基金项目：国家自然科学基金(60970079,60933008).，汪国昭(浙江大学数学系，杭州，310027)摘要:基于配置矩阵的迭代格式和对角分解，主要分析了渐进迭代逼方法(theprogressiveiterativeapproximationmethod,PIA)的拟合误差，并推导PIA方法的拟合误差估计公式；基于推导的拟合误差估计公式，给出了PIA方法若干理论和实际应用，并由此进一步分析了PIA方法数学模型的收敛性和收敛速度.最后，文中给出了两个数值实例以验证本文的结论.关键词:迭代;拟合;误差估计中图法分类号:TP391.72文献标识码:A

2、ErrorEstimationandApplicationofaNewClassofFittingMethodDengShaohui,WangGuozhao(DepartmentofMathematics,ZhejiangUniversity,Hangzhou,310027)Abstract:Basedontheiterativeformatandthediagonalizationofthecollocationmatrix,wegiveadetailedanalysisofthefittingerroroftheprogressiveiterativeapproximationmetho

3、d(PIA).Inaddition,wededucetheformulafortheupperboundofthefittingerrorofthePIAmethod;basedontheformulaofthefittingerrorgivenbyus,sometheoreticalandpracticalapplicationsaregiven.Furthermore,wepresentananalysisoftheconvergenceandtheconvergencerateofthemathematicalmodelofthePIAmethod.Finally,twonumeric

4、alexamplesarepresentedtoillustratetheconclusions.Keywords:iteration;fitting;errorestimation在计算机辅助几何设计（CAGD）和计算机图形学（CG）等领域，随着激光采样等硬件技术的迅速发展，大规模离散数据拟合及曲面重建得到了日益广泛的应用.和其它工程应用相比，在计算机图形等领域，对拟合方法有更高的要求：对于精确模型，如逆向工程，要求拟合误差具备严格的可控性，拟合误差必须控制在允许的范围内；对于非精确模型，如计算机动画等领域，对拟合精度要求相对较低，其主要目标是拟合外形具有视觉合理性.显然传统的拟合方法，难

5、以同时具备这样的性能.近年来，一类新型拟合方法PIA方法的提出，可解决这一难题，因而备受关注[1-11]，成为当前的研究热点之一.PIA方法是由Qi[1]和deBoor[2]先后提出，最初的研究局限于三次均匀B样条基函数，后经Wang[3]和Lin[4-6]等人将其进一步推广到标准全正基和曲面情形.最近，Chen[7]等发现PIA方法同样也适用于B-B曲面.而Lu[8]通过引入权因子，给出了一种有效加速PIA收敛的算法.Lin[6]进一步改进了PIA的迭代格式，可实现局部数据拟合.Delgado[9]比较了不同的拟合基函数，并证明B基是收敛最快的拟合基函数.PIA方法是一类以拟合误差为驱动的

6、迭代方法，通过不断的调整控制顶点，迭代生成拟合曲线.当拟合误差足够小时，则可以实现精确插值；当把拟合误差控制在一定范围内，则可实现不同层次的拟合.所以PIA方法同时兼容了插值算法，和传统的拟合方法相比，PIA方法更有弹性.因此拟合误差分析是PIA方法的重要内容之一，无论在理论还是在实际应用等方面都有重要意义，而目前文献少有涉及，本文将作具体的分析.传统的拟合误差分析,通常是先求出拟合曲线，然后直接计算出拟合误差，无法预先估计，理论分析更是非常困难.而对于PIA方法，则可以很好的弥补传统拟合方法这一不足，可以预先估计.一般拟合误差可分为两类：模型误差和随机误差（噪声），引起随机误差的原因是多种

7、多样的，不予讨论.本文主要分析了PIA方法的模型误差，并给出了具体拟合误差估计公式，从而在理论上进一步完善了PIA方法.在实际应用中，可以利用拟合误差来引导交互式，自适应拟合.而且通过拟合误差分析可以得出以下结论：一、通过对拟合误差分析，可9进一步刻划PIA方法模型的收敛性，和文献[3,4]相比，本文的分析更精细、完全.二、文中给出的拟合误差公式，可更全面的分析PIA模型的收敛速度.三、由拟合误差公式，可以预