pia方法数值分析

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1、PIA方法数值分析邓少辉基金项目：国家自然科学基金(60970079和60933008).邓少辉（1978—）男，博士研究生，主要研究方向为CAGD&CG.汪国昭（1944—）男，教授，博士生导师，主要研究方向为CAGD&CG、数字图像处理等.汪国昭（浙江大学数学系，杭州，310027）(paperdeng@126.com)摘要在数值计算方面，本文对逐次渐进迭代逼近(PIA)方法进行了探讨，可知PIA方法是代数插值方法一种数值实现方式，也可看作是一类特殊矩阵求逆的迭代逼近算法.从数值计算效率方面来看，PI

2、A方法有两个缺点：一、对可能出现的病态矩阵，计算效率低.二、PIA方法的收敛速度受制于参数化，存在着计算效率上的不确定性.经分析发现，对于缺点一，缺陷是内在的，PIA方法是无法克服的；对于缺点二，在大多数情况下，可以选择向心加速参数化方法加以克服.最后，作者给出若干数值实例以验证本文的结论.关键词迭代;插值;逼近;参数化中图法分类号TP391NumericalAnalysisofPIAMethodDengshaohuiWangguozhao(DepartmentofMathematics,Zhejiang

3、University,Hangzhou,310027)AbstractOuraiminthispaperisfocusedonthenumericalanalysisoftheprogressiveiterativeapproximation(abbr.PIA)method,wefindthatthePIAmethodisjustaspecificmethodofthealgebraicinterpolationmethod,itcanalsobeviewedasanalgorithmofcomputin

4、gtheinversematrixofaclassofspecialmatrix.Inaddition,wefindthatthePIAmethodhastwodrawbacks:oneisthatitisnolongervalidwhentheinterpolationmatrixisill-conditioned.Theotheristhatitsconvergenceratedependsontheparameterizationmethod.Forthefirstshortcoming,itisi

5、nherent,whichcannotbeovercome.Forthesecondshortcomingcanbeavoidedbychoosingthecentripetalmethodingeneral.Somenumericalexamplesarepresentedtoillustratetheconclusions.KeywordsIteration;Interpolation;Approximation;Parameterization0引言与传统插值方法比较，PIA方法以其明确的几何意义，

6、无需求解线性方程组，易于编程实现等优点，近来倍受关注.其主要思想是：通过不断的调整控制顶点，逐步的生成曲线列，从而渐进的逼近初始控制顶点，以达到插值的目的.PIA方法分别是由齐东旭[13]和deBoor[9]先后发现的，后经王国瑾[5]、蔺宏伟[4]等人深入而细致的研究，将其进一步推广到NTP基和曲面情形.目前的研究主要集中在两个方面：一、收敛性分析和迭代格式的改进，如蔺宏伟[2]LPIA，陆利正[3]WPIA等.二、对应用范围的推广，如陈杰[1]将其推广至B-B曲面等.但是作为应用的前提，PIA方法数值

7、计算的效率少有涉及，本文将着重这方面的研究.与代数插值比较，PIA方法是一种截然不同的方法.尽管在形式上和代数插值方法差别很大，但是经研究发现，可以从代数插值推导出PIA迭代格式.由此可知，PIA方法和代数插值本质是一致的，所以它的优缺点和代数插值也是相似的.经分析表明，PIA方法的计算效率，等价于一类特殊矩阵的近似求逆的效率.进一步可以发现，PIA方法无法有效的处理病态矩阵，而且作为一种迭代算法，对一般的非病态问题，也会面临计算效率不确定性的问题.尽管PIA方法具有几何直观的优点，但它的逼近效果却没有保

8、形性.本文将围绕着这些问题逐一展开，并给出数值实例加以验证.1PIA方法的代数结构分析PIA方法出发点是基于几何观察，是一种几何描述，与任何其它插值方法都不同.但究其本质，却可以用代数方法推导出来，即可认为是代数方法的几何化.1.1PIA方法给定一点集和一标准全正基(NTP)函数集，并简记为，设是对应参数集且满足：，则PIA方法迭代过程如下：step1.初始迭代曲线：，其中，且,i=0,1,…,n.step2.计算误差向量:，