2012广东高考数学理科试题及详细答案

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1、2012年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)一、选择题:(本大题共8小题,每小题5分,满分40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设为虚数单位,则复数A.B.C.D.2.设集合,则A.B.C.D.3.若向量,则A.B.C.D.4.下列函数中,在区间上为增函数的是A.B.C.D.5.已知变量满足约束条件,则的最大值为A.B.C.D.6.某几何体的三视图如图1所示,它的体积为A.B.C.D.7.从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其个位数为0的概率是A.B.C.D.8.对任意两个非零向量,

2、定义,若向量满足,的夹角,且和都在集合中,则10/10A.B.1C.D.二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分。(一)必做题(9~13题)1.不等式的解集为。2.的展开式中的系数为。(用数字作答)3.已知递增的等差数列满足,则。4.曲线在点处的切线方程为。5.执行如图2所示的程序框图,若输入的值为8,则输出的值为。(二)选做题(14~15题,考生只能从中选做一题)6.(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系中,曲线和参数方程分别为和,则曲线和的交点坐标为。7.(几何证明选讲选做题)如图3,圆的半径为1,为

3、圆周上的三点,满足,过点作圆的切线与的延长线交于点,则。三、解答题:本大题共6小题,满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。16.(本小题满分12分)已知函数(其中)的最小正周期为1)求的值;2)设,求的值。10/1017.(本小题满分13分)某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示,其中成绩分组区间是:。1)求图中x的值;2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人,该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为,求的数学期望。18.(本小题满分13分)如图5,在四棱锥中,底面为矩形,,点在线段上,(1)证

4、明:(2)若,求二面角的正切值。19.(本小题满分14分)设数列的前项和为,满足,且成等差数列。(1)求的值;(2)求数列的通项公式;(3)证明:对一切正整数,有。10/1020.(本小题满分14分)在平面直角坐标系中,已知椭圆的离心率为,且椭圆上的点到的距离的最大值为3.(1)求椭圆的方程;(2)在椭圆上,是否存在点,使得直线与圆相交于不同的两点,且的面积最大?若存在,求出点M的坐标及对应的的面积;若不存在,请说明理由。21.(本小题满分14分)设,集合,(1)求集合(用区间表示);(2)求函数在内的极值点。2012年普通高等学校招

5、生全国统一考试(广东卷)数学(理科)参考答案:1—8:DCAABCDB注:第8题解析:因为,且和都在集合中,所以,,,所以所以,故有10/109.(写成集合形式也给分)10.2011.12.13.814.15.第9题注解:x-(-2)

6、-

7、x-0

8、即数轴上到-2的点与到0点距离只差小于1的点的集合。三、解答题:本大题共6小题,满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。16.(本小题满分12分)已知函数(其中)的最小正周期为(1)求的值;(2)设,求的值。解:(1)由题意,解得。(2)由题,即,又,可得,所以。17.(本小题满

9、分13分)某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示,其中成绩分组区间是:。(1)求图中x的值;(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人,该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为,求的数学期望。解:(1)由题意:,解得;(2)80~90分有人;90~100分有人。所有可能的取值为0,1,210/10故。18.(本小题满分13分)如图5,在四棱锥中,底面为矩形,,点在线段上,(1)证明:(2)若,求二面角的正切值。(1)证明:∵,∴;∵,∴。又,∴。(2)解:设交于,连结,由题,所以即为二面角的平面角。由(1)知

10、,,所以四边形ABCD为正方形,易得。由(1)知又,有,故,。在中,。所以二面角的正切值为319.(本小题满分14分)设数列的前项和为,满足,且成等差数列。(1)求的值;(2)求数列的通项公式;(3)证明:对一切正整数,有。解:(1)由题,解得,故10/10(2)当时,;当时,①②由①-②得:,整理得,故为公比为的等比数列,首项为,故,,经验证当时,综上。(3)当时又因为,所以,。所以,所以,20.(本小题满分14分)在平面直角坐标系中,已知椭圆的离心率为,且椭圆上的点到的距离的最大值为3.(1)求椭圆的方程;(2)在椭圆上,是否存在

11、点,使得直线与圆相交于不同的两点,且的面积最大?若存在,求出点M的坐标及对应的的面积;若不存在,请说明理由。解:(1)由,所以10/10设是椭圆上任意一点,则,所以①当,即时,时,有最大值,可得,所以;②当,即时,时,有

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