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1、第一章集合第一讲集合及其子集【知识要点】1．集合的概念【析】（1）集合是一个不定义的原始概念，应注意集合概念中的“确切的对象”与“整体”两个词。（2）集合中元素的性质：①确定性；②互异性；③无序性。（3）集合的分类：有限集、无限集和空集。（4）常用数集：自然数集N，正整数集N*，整数集Z，有理数集Q，实数集R。2．集合的表示方法：列举法、描述法。【析】（1）列举法：将集合中的元素一一列举出来。（2）描述法：将集合中元素所具有的共同性质描述出来，起形式为{x
2、P}，其中x为元素的一般形式，P为元素的公共属性。（3）有时集合集合也用图示法（数轴、韦恩图）来
3、表示。3．子集：若集合A中任何一个元素都属于集合B，则集合A叫做集合B的子集，记作AB或BA。【析】（1）空集是任何集合的子集，即A。（2）集合A是其自身的子集，即AA。（3）子集的传递性：若AB，BC，则AC。（4）若AB，则AB或A=B。4.相等的集合：对于两个集合A和B，若AB，且BA，则叫做集合A与集合B相等，记作A=B。【析】相等的集合中的所含元素完全相同。5.真子集：对于集合A和B，若AB，且B中至少有一个元素不属于A，则集合叫做集合B的真子集，记作AB或BA。【析】（1）空集是任何非空集合的真子集。（2）N*NZQR（3）连接元素与集合的
4、符号有：和。（4）连接集合与集合的符号有：，，，=等。【典型例题】1．集合概念问题【例1】用符号和填空：（1）若集合A={x
5、x2+2=0}，则0___A；（2）若集合B={x
6、x2–3x+2=0}，则1___B;（3）若集合C={y
7、y=-x2+2}，则0___C；（4）若集合D={y
8、y=x2+1，xZ}，则（0，1）___D；（5）若集合E={（x,y）
9、
10、x
11、=2且
12、y
13、=1}，则（-2,1）___E。【分析】理解集合的含义，注意集合表示的元素类型。【解答】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.【例2】已知集合A={1,2,3,4,……,n}
14、。记A*={A的所有子集}。下列说法哪些是正确的？①AA*；②AA*；③A*；④A*；⑤{}A*；⑥{}A*。【分析】注意集合A*的元素类型，并判断出A*的元素应该有哪些。【解答】A*中的元素是A的子集，所以A*是集合的集合，即A*中的元素是集合，而A中的元素是数字，所以①是错误的；因为A是本身A的子集，所以A应该在集合A*里，所以②是正确的；空集是任何集合的子集，所以③是正确的；又因为空集是集合A的子集，所以是在A*里面，即④也是正确的；{}表示集合的集合，这不是空集，里面有元素，而A*，显然⑤是正确的，⑥是错误的。【点评】注意③和④中的空集意义的不
15、同，前者相当于一个没有装集合的空篮子，后者相当于一个没有装数字的空篮子。2．集合的表示方法【例1】用列举法表示下列集合：（1）A={
16、}；（2）B={
17、}；【分析】（1）集合A中的元素x是整数，且6能被3-x整除；（2）集合是点集，或者看成由方程x+y=6的所有自然数解组成的集合。【解答】（1）集合A用列举法表示为{-3,0,1,2,4,5,6,9}；（2）取x=0,1,2,3,4,5,6，分别求出相应y的值为：6,5,4,3,2,1,0，所以集合B用列举法表示为{（0,6）（1,5）（2,4）（3,3）（4,2）（5,1）（6,0）}。【点评】注意数
18、集与点集。【例2】用另一种方法表示下列集合：（1）A={
19、}；（2）A={
20、，、均为非零实数}。【分析】根据集合元素的互易性进行分类讨论。【解答】（1）易知方程的实数根为1和，当=1时，A={1}；当1时，A={1，}。（2），当时，；当时，；当时，。综上，A={}。3．集合之间的关系问题【例1】设集合A={}，B={}，且A=B，求实数的值。【分析】要使有限集合A与B相等，须使集合A与B中所有元素分别相等。【解答】若，则，这不满足集合互异性，舍去；若，则（舍去）或，【例2】已知集合B={}，且集合A、C满足ABC，请用列举法写出一个集合A，用描述法写
21、出一个集合C。【分析】首先分析集合B是怎样的一个集合，由于题目只需要求出满足条件的一个集合A和C，所以答案是不唯一的。【解答】集合B的元素是一条直线上的点，要A是B的真子集，且要使用列举法来表示A，我们可以求出B中几个点，如令A={（1,1），（2,3）}，则A是B的真子集。同样的，要B是C的真子集，C集合的点一定要比B的多，可以用逻辑连接词“或”来解决这个问题，如令C={}，则B是C的真子集。当然，也可以令C={}，和上面的C是一样的（思考为什么）。【点评】答案不唯一的时候，使用最简单的答案，将犯错误的概率降到最小。【基础训练】1．下列说法中，正确的
22、是（）A．集合{6,9}和集合{9.6}是两个不同的集合B．数轴上到原点为1的点的全体可构成一
