函数的性质及综合应用

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1、莀莅螇芀芆蒄衿肃膂蒃羁袆蒁蒂蚁肁蒇蒁袃袄莃蒀羆膀艿蒀蚅羂膅葿螈膈蒃蒈袀羁荿薇羂膆芅薆蚂罿膁薅螄膅肇薄羆羇蒆薄蚆芃莂薃螈肆芈薂袁芁膄薁羃肄蒃蚀蚃袇荿虿螅肂芅蚈袇袅膁蚈蚇肁膇蚇蝿羃蒅蚆袂腿莁蚅羄羂芇蚄蚄膇膃螃螆羀蒂螂袈膅莈螂羀羈芄螁螀膄芀莇袂肇膆莆羅节蒄莅蚄肅莀莅螇芀芆蒄衿肃膂蒃羁袆蒁蒂蚁肁蒇蒁袃袄莃蒀羆膀艿蒀蚅羂膅葿螈膈蒃蒈袀羁荿薇羂膆芅薆蚂罿膁薅螄膅肇薄羆羇蒆薄蚆芃莂薃螈肆芈薂袁芁膄薁羃肄蒃蚀蚃袇荿虿螅肂芅蚈袇袅膁蚈蚇肁膇蚇蝿羃蒅蚆袂腿莁蚅羄羂芇蚄蚄膇膃螃螆羀蒂螂袈膅莈螂羀羈芄螁螀膄芀莇袂肇膆莆羅节蒄莅蚄肅莀莅螇芀芆蒄衿肃膂蒃羁袆蒁蒂蚁肁蒇蒁袃袄莃蒀羆膀艿蒀蚅羂膅

2、葿螈膈蒃蒈袀羁荿薇羂膆芅薆蚂罿膁薅螄膅肇薄羆羇蒆薄蚆芃莂薃螈肆芈薂袁芁膄薁羃肄蒃蚀蚃袇荿虿螅肂芅蚈袇袅膁蚈蚇肁膇蚇蝿羃蒅蚆袂腿莁蚅羄羂芇蚄蚄膇膃螃螆羀蒂螂袈膅莈螂羀羈芄螁螀膄芀莇袂肇膆莆羅节蒄莅蚄肅莀莅螇芀芆蒄衿肃膂蒃羁袆蒁蒂蚁肁蒇蒁袃袄莃蒀羆膀艿蒀蚅羂膅葿螈膈蒃蒈袀函数的性质及综合应用湖南祁东育贤中学周友良421600湖南省祁东县洪桥镇一中徐秋蓉一、基本性质：1.函数图像的对称性（1）奇函数与偶函数：奇函数图像关于坐标原点对称，对于任意，都有成立；偶函数的图像关于轴对称，对于任意，都有成立。（2）原函数与其反函数：原函数与其反函数的图像关于直线对称。若某一函数与

3、其反函数表示同一函数时，那么此函数的图像就关于直线对称。（3）若函数满足，则的图像就关于直线对称；若函数满足，则的图像就关于点对称。（4）互对称知识：函数的图像关于直线对称。2．函数的单调性函数的单调性是针对其定义域的某个子区间而言的。判断一个函数的单调性一般采用定义法、导数法或借助其他函数结合单调性的性质（如复合函数的单调性）特别提示：函数的图像和单调区间。3．函数的周期性对于函数，若存在一个非零常数，使得当为定义域中的每一个值时，都有成立，则称是周期函数，称为该函数的一个周期。若在所有的周期中存在一个最小的正数，就称其为最小正周期。（1）若是的周期，那么也是它

4、的周期。（2）若是周期为的函数，则是周期为的周期函数。（3）若函数的图像关于直线对称，则是周期为的函数。（4）若函数满足，则是周期为的函数。4．高斯函数对于任意实数，我们记不超过的最大整数为，通常称函数为取整函数。又称高斯函数。又记，则函数称为小数部分函数，它表示的是的小数部分。高斯函数的常用性质：（1）对任意（2）对任意，函数的值域为（3）高斯函数是一个不减函数，即对于任意（4）若，后一个式子表明是周期为1的函数。（5）若（6）若二、综合应用例1．已知函数f(x)，x∈F，那么集合{(x，y)

5、y=f(x)，x∈F}∩{(x，y)

6、x=1｝中所含元素的个数是．（

7、　　　）A．0B．1C．0或1D．1或2分析：这里首先要识别集合语言，并能正确把集合语言转化成熟悉的语言．从函数观点看，问题是求函数y=f(x)，x∈F的图象与直线x=1的交点个数(这是一次数到形的转化)，不少学生常误认为交点是1个，并说这是根据函数定义中“惟一确定”的规定得到的，这是不正确的，因为函数是由定义域、值域、对应法则三要素组成的．这里给出了函数y=f(x)的定义域是F，但未明确给出1与F的关系，当1∈F时有1个交点，当1F时没有交点，所以选C．函数、方程、不等式是相互联系的．对于函数f(x)与g(x)，令f(x)=g(x)，f(x)＞g(x)或f(x)

8、＜g(x)则分别构成方程和不等式，因此对于某些方程、不等式的问题用函数观点认识是十分有益的；方程、不等式从另一个侧面为研究函数提供了工具．例2．方程lgx+x=3的解所在区间为（　　　）A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，+∞)分析：在同一平面直角坐标系中，画出函数y=lgx与y=-x+3的图象(如图2)．它们的交点横坐标，显然在区间(1，3)内，由此可排除A，D．至于选B还是选C，由于画图精确性的限制，单凭直观就比较困难了．实际上这是要比较与2的大小．当x=2时，lgx=lg2，3-x=1．由于lg2＜1，因此＞2，从而判定∈(2，3)，故本题应

9、选C．说明：本题是通过构造函数用数形结合法求方程lgx+x=3解所在的区间．数形结合，要在结合方面下功夫．不仅要通过图象直观估计，而且还要计算的邻近两个函数值，通过比较其大小进行判断．例3．(1)一次函数f(x)=kx+h(k≠0)，若m＜n有f(m)＞0，f(n)＞0，则对于任意x∈(m，n)都有f(x)＞0，试证明之；(2)试用上面结论证明下面的命题：若a，b，c∈R且

10、a

11、＜1，

12、b

13、＜1，

14、c

15、＜1，则ab+bc+ca＞-1．分析：问题(1)实质上是要证明，一次函数f(x)=kx+h(k≠0)，x∈(m，n)．若区间两个端点的函数值均为正，则对于任意x∈(

16、m，n)都