关于函数与函数的关系及应用

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2、羄袅膄薅袀羄芇莇螆羄荿薃蚂羃聿莆蚈羂芁蚁羇羁莃蒄袃羀蒅蚀蝿罿膅蒂蚅罿芇蚈薁肈莀蒁衿肇聿蚆螅肆膂葿螁肅莄螄蚇肄蒆薇羆肃膆莀袂肃芈薆螈肂莁莈蚄膁肀薄薀膀膃莇袈腿芅薂袄膈蒇蒅螀膇膇蚀蚆膇艿蒃羅膆莁虿袁膅蒄蒂螇芄膃蚇蚃袀芆蒀蕿袀蒈蚅羈衿膈薈袄袈芀螄螀袇莂薆蚆袆蒅荿羄袅膄薅袀羄芇莇螆羄荿薃蚂羃聿莆蚈羂芁蚁羇羁莃蒄袃羀蒅蚀蝿罿膅蒂蚅罿芇专题九关于函数与函数的关系及应用问题1：欧拉函数是什么东西？如何定义的？答：欧拉函数是函数与函数的统称。其中若下面的含参变量广义积分收敛，则分别称为函数与函数。即：(1)(2)(1)式称为伽马函数，（2）式称为贝塔函数，二者统称为欧拉函数，函数与

3、函数实质上是含参变量广义积分表示的两个特殊函数．问题2：函数与函数的定义域是什么？答：（一）、函数的定义域：的定义域为.事实上，（1）当时，不是被积函数的瑕点，因此取都有，由柯西判别法知（1）的积分是收敛．（2）当时，是被积函数的瑕点，此时，有==其中对任何s都是收敛的，又，所以与在点是等价的，当时，是收敛，当时，是发散．所以当时是收敛的．综上可知的定义域为.（二）、函数的定义域：。事实上，==而，在各自的区间内只有一个瑕点。又∴在，与等价，∴当时，收敛，所以时，在收敛．10同理时，在时收敛．综上可知当且时收敛，所以的定义域为且。问题3：函数有些什么性质？答：函数具

4、有如下性质：（1）函数的连续性在（0，+）上连续，由=,只证与在（0，+）内连续即可．在任意闭区间()上对于函数当有由于收敛由附录中的定理5，知)在上一致收敛，对于当时有在上连续，所以在连续，所以在上一致收敛，所以在（0，+）上内闭一致收敛，由附录中的定理2，知在（0，+）上连续．（2）函数的的可微性首先考虑积分在任何闭区间()上一致收敛．考虑积分=+．当()而积分收敛,故积分当时一致收敛．同样，当时，()故当时一致收敛．因此积分当时一致收敛．由此可知在上具有连续的导函数且可在积分下求导=(3)由的任意性,可知在上连续且（3）式对一切皆成立.类似的数学归纳法可知，对

5、任何正整数在上都存在且可在积分号下求导数，10得=()．(3)递推公式由此可知,任意,如果(其中是非负整数)即有(4)特别地当为正整数时可写成=.(4)极值与凸性因为对一切，=>0，>0因此的图形位于轴上方且凸的．又因为=1，=1，所以，。因此在上有唯一的一个极小值点落在之间．问题4：函数还有其它的形式吗？答：函数的其他形式：在（1）式中，令，则有（，）(6)在（1）式中，令，则有=。问题5：函数有些什么性质？答：函数具有如下性质：（1）函数的连续性事实上，对任何，有≦，而收敛，所以由附录中的定理5，在，上一致连续，故而在×内连续．（2）函数的可微性在×内可微且存在

6、任意阶连续偏导数．考虑积分10当，时，恒有，（）而收敛，故积分当，时一致收敛．因此当，时可在积分下求导，得并且是，上的连续函数．同理是域上的二元函数，且当可在积分下求导得。完全类似地用数学归纳法可证在域上存在连续偏导数，且=。（3）函数的对称性（4）递推公式=（）（）（当时）由对称性可证特别对正整数，。10问题6：函数还有其它的形式吗？答：函数的其他形式：（令）（）进而将此积分拆成，两段积分，后者作变换，仍把写成，则有。问题7：函数与函数有怎样的关系？答：函数与函数有下面的关系：（1）事实上，当时，由（6）有，，从而，故有，。（2）（余元公式）（3）（倍元公式）﹙﹚

7、问题8：能否举一些函数与函数应用的例子？答：下面是几个关于函数与函数应用的例子：10（1）用余元公式计算的值：解：。（2）求﹙＜＜﹚。解：由公式，令，则，，令，则，令，（3）函数在积分不等式中的应用：例1已知，正整数，证明：.10证明：.例2求.解：令，则由于对一切自然数，有＜，又，故，即，而，由夹逼原则，可知，所以.思考题：一、你能否用复变函数的知识证明余元公式？二、你能否证明倍元公式吗？三、你能否再举一些Euler公式的应用？10思考题的一些提示：一、余元公式的证明。证：令，则.下面用复变函数有关知识给出证明构造函数为辅助函数，为其奇点，且该函数又以（可去奇