《自旋和角动量》doc版

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1、第六章自旋和角动量内容简介：在本章中，我们将先从实验上引入自旋，分析自旋角动量的性质，然后讨论角动量的耦合，并进一步讨论光谱线在磁场中的分裂和精细结构。最后介绍了自旋的单态和三重态。§6.1电子自旋§6.2电子的自旋算符和自旋函数§6.3角动量的耦合§6.4电子的总动量矩§6.5光谱线的精细结构§6.6塞曼效应§6.7自旋的单态和三重态首先，我们从实验上引入自旋，然后分析自旋角动量的性质。施特恩-盖拉赫实验是发现电子具有自旋的最早实验之一。如右图所示，由源射出的处于基K态的氢原子束经过狭缝和不均

2、匀磁场，照射到底片PP上。结果发现射线束方向发生了偏转，分裂成两条分立的线。这说明氢原子具有磁矩，在非均匀磁场的作用下受到力的作用而发生里偏转。由于这是处于s态的氢原子，轨道角动量为零，s态氢原子的磁矩不可能由轨道角动量产生。这是一种新的磁矩。另外，由于实验上只有两条谱线，因而这种磁矩在磁场中的取向，是空间量子化的，而且只取两个值。假定原子具有的磁矩为M，则它在沿z方向的外磁场H中的势能为UMHMHcos（6.1.1）为外磁场与原子磁矩之间的夹角。则原子z方向所受到的力为

3、UHFMcos（6.1.2）zzz实验证明，这时分裂出来两条谱线分别对应于cos1和cos1两个值。为了解释施特恩-盖拉赫实验，乌伦贝克和歌德斯密脱提出了电子具有自旋角动量，他们认为：1每个电子都具有自旋角动量S，S在空间任何方向上的投影只能取两个值。若将空间的任意方向取为z方向，则S2（6.1.3）z2每个电子均具有自旋磁矩M，它与自旋角动量之间的关系为seeMS（SI）或MS(CGS)（6.1.4）ssmmc

4、M在空间任意方向上的投影只能取两个值：srrMM(SI)或MM(CGS)szBszB2m2mcM是玻尔磁子。B电子自旋的回转磁比率为：MeMezz(SI)或(CGS)SmSmczz轨道角动量的回转磁比率为：ee(SI)或(CGS)2m2mc自旋回转磁比率是轨道运动回转磁比率的两倍。自旋是电子的固有属性，千万不要以为，电子的自旋是因为电子在作机械的自转引起的。可以证明，如果将电子想象成为一个电荷均匀分布的小球，由于电子的半径约为132.810cm，要想使它

5、的磁矩由于自转而达到一个玻尔磁子，则它表面的转速将超过光速，这显然是与相对论矛盾的。电子自旋是一个新的自由度，与电子的空间运动完全无关。电子自旋是电子的内禀属性，电子的自旋磁矩是内禀磁矩。电子自旋具有下述属性：1它是个内禀的物理量，不能用坐标、动量、时间等变量表示；2它完全是一种量子效应，没有经典对应量。也就是说，当0时，自旋效应消失。3它是角动量，满足角动量最一般的对应关系。而且电子自旋在空间任何方向上的投影只取2两个值。6.2电子自旋算符和自旋函数自旋是一个力学量，在量子力学中，它应

6、该用线性厄米算符表示。其次，既然是算符，它的性质就应该由算符所满足的对易关系决定。由于自旋具有角动量性质，而角动量算符J满足的对易关系是：JJiJ（6.2.1）在量子力学中，不要误以为角动量就是rp，rp只是轨道角动量，是角动量的一种。凡满足（6.2.1）的算符都是角动量。自旋既然是角动量，那么它自然满足：SSiS（6.2.2）写成分量形式：SˆSˆSˆSˆ[Sˆ,Sˆ]iSˆxyyxxyzSˆSˆSˆSˆ[S

7、ˆ,Sˆ]iSˆ（6.2.3）yzzyyzxSˆSˆSˆSˆ[Sˆ,Sˆ]iSˆzxxzzxy由于自旋S在空间中任意方向的投影只能取2两个值。因此，任意选定x,y,z坐标系后，222Sˆ,Sˆ,Sˆ三个算符的本征值都是2，S,S,S的值都是24即xyzxyz2222SSS4（6.2.4）xyz2则S的本征值为：2222SSS34（6.2.5）xyz22若将任何角动量平方算符的本征值记为Jj(j1)，j称为角动量量子数，则自旋角动量量子数s

8、满足：222Ss(s1)34（6.2.6）所以S1/2为方便起见，引入算符，令S即Sˆˆ,Sˆˆ,Sˆˆ则由（6.2.2）及（6.2.7）xxyyzz2222式得2i（6.2.9）写成分量形式ˆˆˆˆ[ˆ,ˆ]2iˆxyyxxyzˆˆˆˆ[ˆ,ˆ]2iˆ（6.2.9）yzzyyzxˆˆˆˆ[ˆ,ˆ]2iˆzxxzzxy而ˆ,ˆ,ˆ的本征值为1，而