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2、衿肈肅莁袈螇芁芇蒄袀肄芃蒄肂荿薂蒃螂膂蒈蒂袄莇莃蒁羆膀艿蒀聿羃薈蕿螈腿蒄薈袀羁莀薈羃膇莆薇螂羀节薆袅芅薁薅羇肈蒇薄聿芃莃薃蝿肆艿蚂袁节膅蚂羄肅蒃蚁蚃芀葿蚀袆膃莅虿羈莈芁蚈肀膁薀蚇螀羄蒆蚆袂腿莂螆羅羂芈螅蚄膈膄螄螆羁薂螃罿芆蒈螂肁聿莄螁螁芄芀螀袃肇蕿第十章格和布尔代数这一章研究特殊的代数系统—格,它的结构以偏序关系为基础。在格的基础上增加一些条件后,格就变成布尔代数。格的概念在有限自动机的研究方面是重要的,布尔代数可直接用于开关理论和逻辑设计。为此我们先复习一下偏序集的有关概念。10.1偏序集与格10.1.1偏序集的性质在第四章我们将集合L上具有自反性、反对称性、传递性的关系称为集合L
3、上的偏序关系,并用记号“≤”来表示,还将集合L和L上的偏序关系≤一起称为一个偏序集（PartiallyOrderedSet）,用来表示，并讨论了L的子集上的最大下界、最小上界、最大元、最小元等概念.我们先复习偏序集的这些概念和性质，并由此引出格的定义。由于≤和它的逆≥都是L上的偏序关系,因此,对于偏序集中所有的元素a,b,c。a≤a（L-1）若a≤b，b≤a，则有a=b（L-2）若a≤b，b≤c，则有a≤c（L-3）a≥a（L-1＇）若a≥b，b≥c，则有a≥c(L-2＇）若a≥b，b≥c，则有a≥c(L-3＇）定义10.1-1设是偏序集,对于a,b∈L
4、,⑴如果存在元素x∈L，满足x≤a，x≤b,则称x为a和b的下界。⑵如果存在元素y∈L，满足a≤y，b≤y，则称y为a和b的上界。⑶如果元素x是a和b的下界，且对于a和b的任何下界，都有，则称x是a和b的最大下界(下确界)(Greatestlowerbound)。⑷如果元素y是a和b的上界，且对于a和b的任何上界y＇∈L,都有y≤y＇,则称y是a和b的最小上界(上确界)(Leastupperbound)。定理10.1-1设是一偏序集，a,b∈L,则⑴若a和b有最大下界，则最大下界是唯一的，并记作glb(a,b)；⑵若a和b有最小上界，则最小上界是唯一的,并记作lub(a,b
5、)。证明⑴设a和b有最大下界x1和x2。因为，最大下界是下界，所以x1是a和b的下界，而x2是a和b的最大下界，因此x1≤x2；同理可证x2≤x1。故有x1=x2。同理可证⑵。23710.1.2格的定义对任意一个偏序集来说,其中的每一对元素不一定都有最大下界或最小上界,我们讨论其中每一对元素都有最大下界和最小上界的偏序集,并将这种偏序集称作是“格”。定义10.1-2设是一个偏序集,如果对于每一对元素a,b∈L构成的子集{a,b}均存在最大下界和最小上界，则称偏序集为格(Lattice)。由格的定义和定理10.1.1，格中任何一对元素a和b都有唯一的最大下
6、界glb(a,b)，和唯一的最小上界lub(a,b)与其对应。也就是定义了两个LL®L的函数，亦即定义了两个L上的二元运算，这两个二元运算分别用a∧b和a∨b来表示，即a∧b=glb(a,b)，a∨b=lub(a,b)∧和∨分别称为交(Meet)和并(Join)。例10.1-1集合S的幂集和定义在其上的包含关系构成偏序集.对于任意子集A,BS，因为AA∪B,BA∪B，而且若AC,BC,则A∪BC。因此，{A,B}的最小上界AÚB=A∪B。同理{A,B}的最大下界AÙB=A∩B。于是，是格。由集合S={a,b,c}得到的格的Hass图，如图10.1-1所示。{a
7、,b,c}{a,b}ф{b,c}{c}{a,c}{a}{b}图10.1-1图10.1-23126(a)(b)1254102030611551023(c)例10.1-2设I+为正整数集合，对于a,bÎI+，关系“£”定义为：a≤b当且仅当a整除b。则偏序集构成格，其中aÙb是a,b的最大公因数（记作GCD），aÚb是237a,b的最小公倍数(记作LCM)，即aÙb=GCD(a,b)，aÚb=LCM(a,b)例10.1-3设n为正整数，Sn为n的正
