资源描述：
《第9章向量微分,梯度,散度,旋度》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第9章向量微分，梯度，散度，旋度9.1二度與三度空間向量9.2內積（點積）9.3向量積（叉積）9.4向量函數與純量函數，場，導數9.5曲線，弧長，曲率，扭率9.6微積分複習：多變數函數（選讀）9.7純量場的梯度，方向導數9.8向量場的散度9.9向量場的旋度歐亞書局第8章向量微分，梯度，散度，旋度P.329向量函數與純量函數向量微分探討兩種函數，一為向量函數（vectorfunctions），其值為向量且由空間P點而定；另一為純量函數（scalarfunctions），其值為純量也由P點而定。此處P為定義域內的
2、點，定義域在應用時，可為三維區域或曲面或空間曲線。本節主張以向量函數定義向量場（vectorfield），而以純量函數定義在曲面或曲線定義域的純量場（scalarfield）。將向量函數的例子示範在圖168至171。純量場的例子有物體的溫度場或地球大氣層歐亞書局第8章向量微分，梯度，散度，旋度P.349的空氣壓力場。向量與純量函數也與時間t或其它一些參數有關。符號若引入笛卡兒座標x、y、z，則可取代v(P)而寫為不過切記一點，分量取決於座標系統的選擇，然而，具有物理或幾何意義的向量場，其大小與方向應該只由P而
3、定，而非座標選擇；同理，純量場的值（大小）f(P)＝f(x,y,z)也類似。歐亞書局第8章向量微分，梯度，散度，旋度P.349圖168曲線的切線向量場歐亞書局第8章向量微分，梯度，散度，旋度P.349圖169曲線的法線向量場歐亞書局第8章向量微分，梯度，散度，旋度P.349範例1純量函數（空間的歐幾里得距離）空間由一已知點P至任一點P的距離f(P)是純量函數，0其定義域為整個空間。f(P)定義為空間的純量場，若採笛卡兒座標系統且P0座標為x0,y0,z0，則我們熟悉的距離公式f為其中x、y、z為P的座標。若以
4、其它系統取代此固定直角座標系，使得此已知系統經過旋轉且平移而成另一系統，則一般來說，P與P0座標值會改變，但是f(P)卻仍如先前保持相同值。通過P與P的直線，其方向餘弦並非純量，是因0為方向餘弦值與選取的座標系統有關。歐亞書局第8章向量微分，梯度，散度，旋度P.350範例2向量場（速度場）任意瞬間旋轉物體B的速度向量v(P)構成向量場，稱為旋轉的速度場（velocityfield）。若我們引入笛卡兒座標系統具有原點在旋轉軸上，則（見8.3節範例5）(1)其中x、y、z為所考慮瞬間B物體上任一點P的座標。若使得
5、此座標z軸為旋轉軸，且w指向正z方向，則w＝ωk以及旋轉物體的例子與對應的速度場呈現在圖170上。歐亞書局第8章向量微分，梯度，散度，旋度P.350範例2（圖170）歐亞書局第8章向量微分，梯度，散度，旋度P.350範例3向量場（力場，重力場）令質量M的質點A固定在P，與質量m的質點B可自由0運動到空間不同位置點P，那麼A吸引B。根據牛頓重力定律（Newton’slawofgravitation），此對應的重力p由P指向P，而其大小正比1/r2，其中r為P與P的距離，即00(2)此處G＝6.67．10－8cm
6、3/(gm．sec2)為萬有引力常數，因此p為空間中所定義向量場。若我們採笛卡兒座標使得P0的座標為x0,y0,z0以及P座標為z,y,z，那麼由畢氏定理知歐亞書局第8章向量微分，梯度，散度，旋度P.350範例3（續）假定r＞0，且引進向量則得
7、r
8、＝r，與(－1/r)r為p方向的單位向量；負號代表p是由P指向P0（圖171）。由此點與(2)式得(3)此向量函數描述作用在B的重力。歐亞書局第8章向量微分，梯度，散度，旋度P.351範例3（圖171）歐亞書局第8章向量微分，梯度，散度，旋度P.351向量微分收斂
9、性（convergence）一無窮序列向量a,n＝1,2,…(n)若存有一向量a使得(4)則稱此序列向量為收斂（converge）；a稱為此系列的極限向量（limitvector）。然後寫成(5)對固定笛卡兒座標，若且唯若無窮序列向量的連續三個分量收斂至a的對應分量，則此序列向量收斂至a。歐亞書局第8章向量微分，梯度，散度，旋度P.351同理，含實數變數t的向量函數v(t)，若其在t的一些鄰0域（或許除了t0點）定義為(6)則當t趨近於t時，此向量函數具有極限值（limit）l，因此0記為(7)此處，t0的
10、鄰域為t軸含t0為內部點（並非端點）的區間（線段）。連續性（continuity）向量函數v(t)若在t0（包括t0本身）鄰域可被定義且成立歐亞書局第8章向量微分，梯度，散度，旋度P.352(8)則稱其為連續（continuous）。若我們採笛卡兒座標系統，則可寫為那麼若且唯若v(t)的三個分量在t連續，則v(t)在t為連00續。下面將陳述這些最重要的定義。歐亞書局第8章向量微分，梯度，散度，旋度
