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1、幾何學發展史簡介吳志揚·陳文豪前言本文主要是以通俗的方式,向讀者介紹『幾何』這個領域,並希望藉此吸引一些有興趣的學生來研究這門學問。整篇文章所介紹的幾何發展史其實是相當簡略的。我們的重點不在於對時間與年代做精確的考究,而是以作者的角度,介紹影響幾何學發展的重要思想,以及它們如何演變。在介紹這些偉大的理論之前,我們必須先界定一個基本的問題,即『什麼是幾何學呢?』什麼是幾何學幾何學是一門研究『空間』與『移動』的學問。這裡的『空間』指的是正統的『幾何空間』,包括各種具體或抽象的幾何圖形,甚至是整個宇宙空間的幾何構造;而『移動』則是這些幾何空間的表現,例如:平移、旋轉、對稱、波動等等。因此,幾何學
2、可說是真實世界與抽象世界的舞台與演員的演出。而數學家Descartes(笛卡兒,1596∼1650)曾說:『人類心智與生俱來有完美、空間、時間和運動等觀念。』不論是實際生活上為了丈量與計算的需要,或是對於宇宙空間的好奇與探索,亦或是對於『美』的追求,自從人類開始生活在地球上,幾何概念的演進便未曾停歇。而幾何學的發展,也使人類開始真正認識我們所生存的宇宙空間。影響幾何學發展的重要思想在孕育出有如巨大神木之現代幾何學的過程中,許多重要的理論是這棵幾何神木的主要枝幹。以作者的觀點,我們將其由古至今,總括為以下25個:1.π的概念的形成。2.畢氏定理。3.歐基理德幾何原本及其影響。4.柏拉圖的五個
3、正立方體。5.阿基米德的球體積的推導。6.祖沖之原理。7.笛卡兒的座標系統。8.牛頓、萊布尼茲的微積分發明。9.高斯的優美定理、Gauss-Bonnet定理。10.非歐幾何的發展與黎曼的內在幾何觀。11.Lagarange的變分法及Laplace的天體力學。12.尤拉數與波動方程。13.Klein’s24幾何學發展史簡介25program。14.龐加萊平面及基本群。15.Hilbert的幾何基礎。16.愛因斯坦的廣義相對論。17.deRhamcohomology、Hodge理論及Cartan的微分形式觀點。18.陳省身的特徵類與Chern-Weil,Chern-Simon理論。19.Rau
4、ch比較定理。20.Atiyah-Singer指標定理。21.丘成桐教授所代表的幾何分析。22.Donaldson,Seiberg-Witten理論。23.M.Gromov的辛幾何。24.Mandelbrot的碎形幾何與混沌理論。以及電腦時代的產物−25.計算幾何的發展,這可能是本世紀最為重要的。以下我們由思想的演進以及人類在幾何觀點上的變化,從上述的重要思想理論中,再挑出十個做較為深入的探討。從作者的角度來看,這十個思想代表了整個幾何發展的主軸。它們分別是:一.Pythagoras(畢達哥拉斯,約西元前6世紀):畢氏定理。畢氏定理又稱為『商高定理』,在小學的數學教材內即有收錄。這個在現在
5、看起來相當容易理解的定理卻可視為一個文明能否發展的重要指標。簡單的說,由於畢氏定理的提出,顯示人類已經能夠『初步地掌握方向的變化』。兩千六百年前的人已經知道,如果從起點開始向東走四步,再向北走三步,則最後到達的地方與原出發點的距離為五步之遙。也就是說我們已經會變化方向,而不再只是單線的在前進。有了這樣的概念,三角形中的正弦定理、餘弦定裡就可以被推導出來,並可被運用來測量距離、造橋、築屋及計算砲彈射程等等。二.Euclid(歐基理德,約西元前300∼260):幾何原本。Archimedes(阿基米德,約西元前287∼212):級數和、球體積。歐基理德的幾何原本(TheElements)總結了
6、希臘時代的數學成果。它被認為是西方科學發展異於東方科學的最大特色。在書中推導出許多現存於中學數學教材內的重要結果,例如像畢氏定理、三角形內角和等於180度等等,而推出這些結果的主要依據,則是像下面幾個基本的幾何公設:五大幾何公設1.過相異兩點,能作且只能作一直線(直線公理)。2.線段(有限直線)可以任意地延長。3.以任一點為圓心、任意長為半徑,可作一圓(圓公理)。4.凡是直角都相等(角公理)。5.兩直線被第三條直線所截,如果同側兩內角和小於兩個直角,則兩直線作延長時在此側會相交。26數學傳播28卷1期民93年3月其中第五公設又叫做『平行公設(theparallelaxiom)』,因為它等價
7、於:5’.在一平面內,過直線外一點,可作且只可作一直線跟此直線平行。奧瑟曼教授對於這本在兩千三百多年前完成的書有很高的評價,他的評價是:(參見[3],p.69∼p.70)它給了相當的『確定感』;它的方法具有強大的威力;證明方法展現高妙的才智;幾何圖形的美感。也許以現代的角度看來,幾何原本所提及的僅是相當基礎的內容,但是在兩千兩百多年以前,人類卻能以這些簡單的知識,加上對天文的觀測,巧妙地測量出地球的長度。埃拉托斯特尼(E
