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1、1引言随着科学技术发展，通信卫星的用处越来越大，备受人们的关注。卫星在绕地球转动时不免受到外力的影响，轨道会有所偏移，为了使卫星的运行轨道保持一个标准状态，必须对卫星的姿态进行调整，寻求卫星的时间最优控制规律，使卫星轨道稳定下来。在合理的假设下，本文针对该问题，建立了通信卫星姿态调整的模型。并利用李雅普诺夫稳定性理论和状态反馈极点配置，假设合理的数据，对模型进行求解，使系统趋于稳定，然后利用数学软件MATLAB和SIMULINK进行了卫星姿态调整的仿真模拟。最后进行一些有意义的讨论。2预备知识2.1状态空
2、间的基本概念1）状态任何一个系统在特定时刻都有一个特定的状态，系统在（°时刻的状态是4时刻的一种信息量，它与此后的输入一起唯一地确定系统在时的行为。2）状态变量状态变量是一个完全表征系统时间域行为的的最小内部变量组。3）状态向量设系统有斤个状态变量，用舛（/）,兀2（（），•••，£（/）表示，而且把这些状态变量看做向量x（f）的分量，则向量x（f）称为状态向量，记为：T兀⑴二由⑴'兀2⑴，…心⑴］.4）状态空间以状态变量西⑴，兀2⑴，…心（0为轴的〃维实向量空间称为状态空间。5）状态方程描述系统状态变量
3、与输入变量之间关系的一阶微分方程组（连续时间系统）或一阶差分方程组（离散时间系统）称为系统的状态方程，它表征了输入对内部状态的变换过程，其一般形式为：其中，/是时间变量，况⑴是输入变量。6）输出方程描述系统输岀量与系统状态变量和输入变量之间函数关系的代数方程称为输岀方程，它表征了系统内部状态变化和输入所引起的系统输出变换，是一个变化过程。输出方程的一般形式为：）心）*匕（/）,巾）,<•7）状态空间表达式状态方程与输岀方程的组合称为状态空间表达式，也称动态方程，它表征一个系统完整的动态过程，其一般形式为：
4、[M）=g[w）,况⑴工通常，对于线性定常系统，状态方程为：fx=Ar+Bu[y=Cx+Dw其中，兀二匕入‘…兀）表示比维状态向量，/1=仏）"心丘尺以"表示系统内部状态的系数矩阵,称为系统矩阵人呦，B=（®jL石严表示输入对状态作用的矩阵，称为输入（或控制）矩阵B旳,cfwR"网表示输出对状态关系的矩阵，称为输出矩阵C爲，d=（%・Lx卢R*表示输入直接对输出作用的矩阵，称为直接转移矩阵2旳，也称前馈系数矩阵。A由系统内部结构及其参数决定，体现了系统内部的特性，而B则主要体现了系统输入的施加情况，通常情
5、况下D=0。2.2李雅普诺夫意义下的稳定定义2.21131[李雅普诺夫意义下的稳定]称自治系统的孤立平衡状态兀=0在时刻心为李雅普诺夫意义下的稳定，如果对任给一个实数£〉0,都对应存在另一个依赖于£和心的实数次£人）>0,使得满足不等式：兀0—兀e
6、
7、—&『0）•的任一初始状态兀。岀发的受扰运动曲&心都满足不等式：
8、
9、^（r；xo,ro）-xj
10、<£,V/>r0.对上述李雅普诺夫意义下稳定的定义，进而给出如下几点说明。（1）稳定下的几何解释李雅普诺夫意义下稳定具有直观的几何意义。为此，把不等式看成为状态空
11、间中以兀为球心和以£为半径的一个超球体，其球域表为S@）;把不等式看成为状态空间中以乙为球心和以/（&G为半径的一个超球体，其球域表为SQ）,且球域的大小同时依赖于£和/°,在此基础下，李雅普诺夫意义下稳定的几何含义就是，由域S3）内任意一点出发的运动轨线处;观山）对所有吋刻ze[r0,oo）都不越出域S（£）的边界H（£）,对二维系统，上述几何含义可由图2.41形彖地表示。图2.21李雅普诺夫意义下稳定的平衡状态（2）李雅普诺夫意义下的一致稳定在李雅普诺夫意义下的稳定定义中，若对取自吋间定义区间的任--
12、初始吋刻心。对任给实数£>0都存在与初始时刻/（）无关的实数/（£）>（）,使相应受扰运动如;兀（）/））满足条件时称平衡状态兀为李雅普诺夫意义下的一致稳定。通常，对于时变系统，一致稳定比之稳定更有实际意义。一致稳定意味着若系统在一个初始时刻/（）为李雅普诺夫意义下稳定，则系统在取自时间定义区间的所有初始时刻心均为李雅普诺夫意义下稳定。(3)时不变系统的稳定属性对于时不变系统，不管线性系统述是非线性系统，连续时间系统述是离散时间系统，李雅普诺夫意义下的稳定和一致稳定上必为等价。换句话说，若时不变系统的平衡
13、状态为李雅普诺夫意义下稳定，则兀，必为李雅普诺夫意义下的一致稳定。(4)李雅普诺夫意义下稳定的实质定义表明，李雅普诺夫意义下稳定只能保证系统受扰运动相对于平衡状态的有界性，不能保证系统受扰运动相对于平衡状态的渐近性。因此，相比于稳定性的工程理解，李雅普诺夫意义下的稳定实质上就是工程意义下的临界不稳定。稳定性问题中，无论理论上还是应用上，渐近稳定往往更有意义和更具有重要性。有鉴于此，渐近稳定的讨论受到更大的重视和关注。定义2.2
