高二数学-空间图形的表面积和体积

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1、空间图形的表面积和体积一、知识回顾1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图3'2」器侧面积公式S圆柱测=2兀刃Smvf=TirlS圆台侧=兀（厂+厂"）/2•空间几何体的表面积和体积公式名称几何恳表面积体积柱体（棱柱和圆柱）S表面积=S側+2S底V=Sh锥体（棱锥和圆锥）S衣面枳=S侧+S底V=

2、s/z台体（棱台和圆台）S茨面积=s侧+s上+SfV=

3、(Sr+S下+寸SiS卜)h球S=4tiR2V=^［探究］1.柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么联系?提示：V<-»=3(S

4、+/SS'+S')hv柱体=’S'=s--°>V祁=j~Sh2-如何求不规则儿何体的体积?提示：常用方法：分割法、补体法、转化法•通过计算转化得到基本几何体的体积来实现.［自测•牛刀小试］1.棱长为2的正四面体的表面积是（）B.4D.16A.羽C.4^31.（2012•上海高考）一个高为2的圆柱，底面周长为2兀，该圆柱的表面积为・2.（教材习题改编）一个球的半径扩大为原来的3倍，则表而积扩大为原来的倍;体积扩大为原来的倍.3.（2012-辽宁高考）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为.0.5

5、0.5T1—2—»1p-亠

6、—2—♦;4.（教材习题改编）如图，用半径为2的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的容积是.二、例题导入几何体的表面积[例1]（2012-北京高考）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）正（主〉视图侧（左）视图俯视图A.28+6百C.56+12^5B.30+6书D.60+12谄［方法•规律］由三视图求几何体表面积的方法步骤根据三视图画出直观图确定儿何体的结构特征利用冇关公式计算II训练1.（2013-马按山模拟）如图是一个几何体的三视图，则它的表面积为（）侧视

7、图止视图俯视图A.4兀C.5兀B:D:15兀17兀几何体的体积［例2］（1）（2012-湖北髙考）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为）B.3兀D.6兀A・3j3⑵（2012•安徽高考）某儿何体的三视图如图所示，该儿何体的体积是［方法■規律］由三视图求解几何体体积的解题策略以三视图为载体考查几何体的体积，解题的关键是根据三视图想象原几何体的形状构成，并从三视图屮发现儿何体屮各元素间的位置关系及数量关系，然后在直观图中求解.IIA训练2.（2012•新课标全国卷）如图所示，网格纸上小正方形的边

8、长为1,粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）D.18C.122.某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）A.__2兀rB.8-

9、C.8-27C与球有关的切、接问题[例3]（2012-新课标全国卷）已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，AABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2,则此棱锥的体积为（）A半B.習C芈D.平［方法.规律］与球有关的切、接问题的解题策略解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出

10、截面(要使这个截面尽可能多地包含球、儿何体的各种元素以及体现这些元素Z间的关系)，达到空间问题平面化的目的.A训练4.已知正四棱锥的侧棱与底血的边长都为3迈，则这个四棱锥的外接球的表面积为A.12tiC.72兀A.36兀D.108ti［通法归纳领悟］3个步骤——求解与三视图有关的儿何体的表面积、体枳的解题步骤3种方法——求空间几何体体积的常用方法(1)公式法：直接根据相关的体积公式计算.(2)等积法：根据体积讣算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易,或是求出一些体积比等.(3)割补法：把

11、不能直接计算体积的空间儿何体进行适当的分割或补形，转化为可计算体积的几何体.1种数学思想——求旋转体侧面积中的转化与化归的数学思想方法计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法.XUEKESUYAN榻能—g优创新交汇——空间几何体中体积的最值问题1.求空间儿何体的体积一直是高考考查的重点，儿乎每年都考查，既可以与三视图结合考查，又可以单独考查.而求空间几何体体积的最值问题，又常与函数、导数、不等

12、式等知识交汇考查.2.求解空间几何体最值问题，可分为二步：第一步引入变量，建立关于体积的表达式;第二步以导数或基本不等式为工具求最值.［典例］（2012•湖北高考（节选））如图］,ZACB=45°,BC=3,过动点A作AD丄BC,垂足D在线段BC上且异于点B,连接沿4D将折起，使ZBDC=90°（如图2所示）.当BQ的长为多少时，三棱锥A-BCD的体积最大？图1图2［名师点评］解答此题的关键是恰当引入变量兀，即令BD=x,结合位養关系列出体