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1、建模题之二：曲柄滑块机构的运动规律问题目的：本问题主要涉及微积分中对函数特性的研究。通过实验复习函数求导法，Taylor公式和其他有关知识。着重介绍运用建立近似模型并进行数值计算来研究讨论函数的方法。问题重述：曲柄滑块机构是一种常用的机械结构,它将曲柄的转动转化为滑块在直线上的往复运动，是气压机、冲床、活塞式水泵等机械的主机构。图1为其示意图。记曲柄0Q的长为厂，连杆0P的长为/,当曲柄绕固定点0以角速度w旋转时,由连杆带动滑块P在水平槽内做往复直线运动。假设初始时刻曲柄的端点Q位于水平线段0P上，曲柄从初始位置起转动的角度
2、为而连杆QP与0P的锐夹角为0（称为摆角）。在机械设计屮要研究滑块的运动规律和摆角的变化规律，确切的说，要研究滑块的位移，速度和加速度关于0的函数关系，摆角0及其角速度和角加速度关于0的函数关系，进而（1）求出滑块的行程s（即滑块往复运动时左、右极限位置间的距离）；（2）求出滑块的最大和最小加速度（绝对值），以了解滑块在水平方向上的作用力；（3）求出0的最大和最小角加速度（绝对值），以了解连杆的转动惯量对滑块的影响；在求解上述问题时，我们假定：r=l00（mm）,/=3r=300（m/n）,co=240（转/min）符号说明
3、：r：曲柄00的长；/:连杆QP的长度；0:摆角（连杆QP与0P的锐夹角）;Q：角速度；P：滑块；X：滑块的位移；d：滑块的加速度。问题一：求滑块的加速度Q和摆角加速度的极值问题分析：此问题是在给定了加速度Q和摆幷加速度的表达式的条件下，因为表达式子屮是关于一系列变量的关系式，想利用该表达式直接求出极值是不容易的，所以我通过数学软件来解决此问题。问题求解：由实验模型可知，滑块的加速度为：dvdv2rn厂(厂cos20+厂？sir/&)a=—=co——=-co~r[cos0+；———]dtde(/2-r2sin2^)3/2摆角
4、加速度:d2/}_$询0(厂一厂2)W=~(l2-r2sm20f,2为了求出这两个函数的极值，我们可以先画图,再求出极值.实验程序：functionshiyan801r=100；1=300；w=240；fl=f-5760000*(cos(x)+100*(90000*cos(2*x)+10000*sin(x)*sin(x))/(90000-10000*sin(x)*sin(x))A1.5)*；[xminl,ymin1]=fminbnd(f1,0,2*pi)%求加速度的最小值subplot(2,2,l)；fplot(fl,[0,
5、2*pi])；%画出加速度图形f2=,5760000*(cos(x)+100*(90000*cos(2*x)+10000*sin(x)*sin(x))/(90000-10000*sin(x)*sin(x))A1.5)*；[xmin2,ymin2]=fminbnd(f2,0,2*pi)%求加速度的最大值subplot(2,2,2)；fplot(f2,[0,2*pi])；%画出加速度图形O=,-5760000*sin(x)*(90000-10000)/((90000-10000*sin(x)*sin(x))A1.5)r[xmin
6、3,ymin3]=fminbnd(f3,0,2:}:pi)%求角加速度的最小值subplot(2,2,3);fplot(f3,[0,2*pi])；%画出角加速度图形f4='5760000*sin(x)*(90000・10000)/((90000・10000*sin(x)*sin(x))A1.5)‘[xmin4,ymin4]=fminbnd(f4,0,2*pi)%求角加速度的最人值subplot(2,2,4)；fplot(f4,[0,2*pij)；%画出角加速度图形运行结果:图2加速度和如加速度函数图加速度的最小值为：ymin
7、l=-7680000；加速度最大在&二0处収得；加速度的最大值为：ymaxl=3.9608e+006；加速度最大在&=3.8669处収得；角加速度的最小值为：yminl=-2.0365e+004；角加速度最大在&二1.5708处取得；角加速度的最大值为：ymaxl=2.0365e+004；角加速度最大在0=4.7124处取得；此数据将用做在后面的实验问题中的比较分析；问题二：利用摆角的角加速度的三种表达式，取步长为：醫，计算当0丘[0,刃变化时角加速度的值，并列表加以比较。摆角的角加速度的三种表达式为：d~p_ra2sin^
8、(/2-r2)~dF~~(I1-r1sin2^)3/22(2)彳華=-/二亦0drI(3):伞=-co2[ysin0+(sin30一sin20cos&)]实验程序：fori=l:13x(i)=(i-l)*(pi/12)；y(i)=-r*w*w*sin(x(i))*(lA2-rA2)/((l
