实验一维纳滤波器的计算机实现

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1、实验一维纳滤波器的计算机实现一.实验目的1.利用计算机编程实现加性噪声信号的维纳滤波。2.将计算机模拟实验结果与理论分析结果相比较，分析影响维纳滤波效果的各种因素，从而加深对维纳滤波的理解。3•利用维纳一步纯预测方法实现对信号生成模型的参数估计。二实验原理与方法维纳滤波是一种从噪声背景中提取信号的最佳线性滤波方法,假定一个随机信号x(n)具有以下形式：x(n)=s(n)+v(n)(1-1)其中，s(n)为有用信号，v(n)为噪声干扰，将其输入一个单位脉冲响应为h(n)的线性系统，其输出为00y(n)=^h(

2、fn)x(n一m)(1-2)w=—30我们希望x(n)通过这个系统后得到的y(n)尽可能接近于s(n),因此,称y(n)为信号s(n)的估值。按照最小均方误差准则，h(n)应满足下面的正则方程：QC几(X)=工力帥)0口仏一加)(1-3)m=—oo这就是著名的维纳一霍夫方程，其中九(加)是x(n)的自相关函数,定义为血(加)=E[x(/?)x(/7+m)](1-4)尤(加)是x(n)与s(n)的互相关函数，定义为0、(加)=E[x(n)s(n+加)](1-5)这里，E卜]表示求数学期望。在要求h(n)满足因

3、果性的条件下，求解维纳■霍夫方程是一个典型的难题。虽然目前有几种求解h(n)的解析方法，但它们在计算机上实现起来非常困难。因此，本实验中，利用近似方法，即最佳FIR维纳滤波方法，在计算机上实现随机信号的维纳滤波。设h(n)为一因果序列，其长度为N,则N-1y(n)=-m)⑴®m=0同样利用最小均方误差准则，h(n)满足下面方程:RJ=f(1-7)其中方="(0)/(1),…/(N--i)r(1-8)「九(0)0“(-1)―0H-n+l(1-9)Rxx=血(1)•••0/0)...•■••••血(-N+2)血

4、(N—1)0a(N-2)...九(0)_心二％(0)0』)…心N(M0)这里T表示转置运算。心丫称为信号x(n)的N阶自相关矩阵，心为x(n)与s(n)的互相关函数向量。当为满秩矩阵时，由公式(1・7)可得h=R：由此可见，利用有限长的h(n)实现维纳滤波器，只耍已知心y和鼻，就可以按上式解得满足因果性的ho只要N选择的足够大，它就可以很好地逼近理想无限长的维纳滤波器，这一点我们可以在下面实验中得到证实。在木实验中，s(n)由下式来确定：(1-12)s(n)=as(n一1)+w(〃)称为信号的生成模型，其中

5、a=0・95,w(n)是零均值方差为cy；.=-a2的高斯白噪声，v(n)是与s(n)互不相关的高斯白噪声，其均值为零，方差疋=1。0.2379根据理论推导，此时维纳最佳滤波器为(M3)l-0・7239z"单位脉冲响应为h(n)=0.2379(0.7239/h(w)(1-14)由此可以实现对信号x(n)的最佳过滤，即y(n)=s(n)=0.72395(/?-1)+0.2379x(/?)(1-15)其中£(〃)为s(n)的最佳估值。同时，可以推出，经过理想维纳滤波后，均方误差应为E[e2(n)]=£[(5(

6、m)-5(h))2]=0.2379⑴⑹在实验中，我们利用下面公式来统计均方误差：E=yY[s(i)-s(i)]2(I®Li=i其中L为维纳滤波数据长度。通过理论推导，我们可以得到s（n）的自相关函数0“（〃7）=°.95刈，进而得到x（n）的自相关函数+5（加）以及s（n）与x（n）的互相关函数0“（加）二0s（加）o(w)=dsA(1-18)(1-⑼实际中，一般很难确切地知道0口（加）和0“（加），通常是利用有限个x（n）和s（n）的样本来估计它们O"l7工x(i)s{i+m)I日为了在检验实际中某次产生

7、序列的自相关特性与理论值的近似程度,我们可以采用下式进行度量:X（2（加）-必（川））'m=-K(l-20a)(l-20b)X此（加）-0口（加））‘Z况（加）该式表示了自相关函数的理论值与某次实现的实际值的相对平方误差。实验中为了得到与自相关特性理论值相符的观测序列，往往需要多次产生序列，直到两者的相对平方误差P足够小。本实验中，我们取K=50,并认为o.W°・03」Lp“W0.01的序列才是满足要求的。在上面这部分实验中，s(n)是已知的。但是在实际中如果已知s(n),维纳滤波也就没有多少意义了。因此，

8、上述实验纯粹是为了理解维纳滤波原理而设计的。考虑维纳一步纯预测问题，假定s(n)的生成模型为s(n)+a{s(n-1)4-・・・+aps(n-p)=w(n)(1-21)其中w(n)是均值为零，方差等于°：的高斯白噪声。在已知准确自相关函数久(刀)的情况下，由下面Yule-Walker方程可以得到信号生成模型参数ai°T，…P)和代RA=(1-22)ssw其中尺,为9+l)xS+l)自相关矩阵，其意义类似于(1一9