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1、勾股定理典例分析窗体顶端历史上，勾股定理的证明异彩纷呈，近年来中考中対勾股定理的考查打破了以往直接给岀结论要求学生证明的方式，而是通过观察、操作、实验探究证明勾股定理，注重考生的动手实践和自主探索，发展合情推理能力，体会形数结合的思想；而数学大会会标设计与勾股定理知识的综合运用体现了勾股定理丰富的文化内涵，有些屮考题屮呈现岀勾股定理的历史便于我们深入的了解，证明、运用勾股定理解决一些实际问题是近几年中考的热点题型.典型例题剖析：例1如图(1)是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b,斜边长为c,图(2)是以c为直角边的等腰
2、直角三角形.请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形.(1)画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形.(2)用这个图形证明勾股定理.(3)假设图(1)中的直角三角形有若干个，你能运用图(1)中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的示意图.(无需证明)⑴分析：本题第(1)问要求的构图实际上是美国第十七任总统加菲尔徳首先提出的•此题是対学生的操作、探索、创新思维等能力的考查，属操作实验题，该题较好地体现新课改的精神，以学生为本；要求考生拼拼、画画后再证明结论，这样的考查方式比以往直接给出结论要求学生证明的方式更有
3、意义，考生在拼拼、画画、证明结论的过程屮，感受数学知识的形成与发展的过程，既考查了学生通过观察、操作、实验等合情推理的方式发现数学结论的能力，也让考生初步体会了科学发现的一些过程；第(3)问具有开放性，其解决过程和答案都是多元化的，通过具体问题情景的设置，对考牛的创新精神、实践能力和探究能力进行考查，以此引导学生学会学习.解：(1)图形要规范、正确•如图，写出是直角梯形.(2)S梯形S梯形=—dbx2+—c?=ab+—c2222整理，得a2+h2=c2.—(a+b)2=ab+—c2.22(3)拼出能证明勾股定理的图形即可.下面举出三种拼图方法:
4、例2(1)四年一度的国际数学家大会于2002年8月20日在北京召开.大会会标如图甲.它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.若大正方形的面积为13,每个直角三角形两条直角边的和是5.求中间小正方形的面积.(2)现有一张长为6.5cm、宽为2cm的纸片，如图乙，请你将它分割成6块，在拼合成一个正方形.(要求：先在图乙屮画岀分割线，再画岀拼成的正方形并表明相应数据)图乙分析：(1)设直角三角形的较长直角边长为a,较短直角边长为b,则小正方形的边长为a・b.由题意得a+b=5①由勾股定理，得a2+b2=13®.①2-②，得2ab
5、=12.(a-b)2=a2+b2-2ab=13-12=1③.即所求的中I'可小正方形的面积为1.(2)所拼成的正方形的面积为6.5x2=13(cm2),所以，可按照图甲制作.由③,得a-b=l.由①、③组成方程组解得a=3,b=2.结合题意，每个直角三角形的较长的直角边只能在纸片6.5cm的长边上截取，去掉四个直角三角形后，余下的面积为134x3x2x4=13-12=l(cm2),恰好等于中间的小正方形面积.于是，得到以下分割拼合方法:0.5cm3cmlcm3cm小结：例1拼合、例2分割相得益彰.例3据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年
6、商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连结得一个直角三角形，如果勾是三、股是四，那么弦就等于五.后人概括为“勾三、股四、弦五⑴观察：3,4,5；5,12,13；7,24,25；......,发现这些勾股数的勾都是奇数，且■从3起就没有间断过.计算2少-1)、2(9+1)与2(25-1)、2(25+1),并根据你发现的2222规律，分别写出能表示7,24,25的股和弦的算式；••⑵根据⑴的规律，用为奇数且处3)的代数式來表示所有这些勾股数的勾、股、弦,••••••合情猜想他们Z间二种相等关系并对其屮一种猜想加以证明；⑶继续观察4,3,5；6,
7、8,10；8,15,17；……，可以发现各组的第一个数都是偶数,且从4起也没有间断过.运用类似上述探索的方法，直接用加(加为偶数Um>4)•••的代数式来表示他们的股和眩.••分析：本小题是研究勾股数，考查学生观察、分析、类比、猜想、验证和证明.由题中给出的勾股数的构成形式，便可掌握勾股数的构成规律，从而得到勾股数的一般形式，这是一个市特殊到一般的思维过程.由于考生学习经验和思考角度不同，所提出的新结论和证明必然是多样化、多层次的，应尊重各层次考生经独立思考后的想法，保护考生的创新意识.-(25+1)=13；2解：(l)V-(9-l)=4,丄(
8、9+1)=5；丄(25-1)=12,222・・・7,24,25的股的算式为扣9-1)专弦的算式为
9、(49+1)=
10、(72+1)⑵当刃为奇数K/?>3,
