本科毕业论文无穷级数求和的若干方法

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1、陕西理工学院函授本科毕业论文题目无穷级数求和的若干方法学生姓名无穷级数求和的若干方法于涛（陕西理工学院）摘要：本文介绍了十种无穷级数求和的方法，并通过举例说明这些方法的应用.关键词：无穷级数；级数收敛；级数发散；求和无穷级数包括数项级数和函数项级数.它是表示函数性质的一个重要工具，也是对函数进行数值计算的一个重要手段.我们较常见到的无穷级数求和多为数项级数和幕级数的求和，无穷级数求和问题是无穷级数中的难点，因此这里给出的十种方法主要是针对上述两种级数，并通过例题讲述这些求和方法的应用.1定义法⑴这是利用无穷级数和的

2、定义来求级数和的一种方法，这种方法用于级数前刃项部分和数列比较好求的级数，在此我又把其分为以下三类.（1）直接法：适用于£绰为等差或等比级数或通过简单变换易化为这两种*=1级数.例1求级数的和，（k

3、vi）・n=l解S“=l+3q+5g“（2n—l）q""（1）S”中各项的系数1、3、5、…是公差为2的等差数列，（1）的两边同乘以g得：qS”=g++5q3（2n—l）q"（2）⑴一⑵得：（l—g）S“=l+2q+2g2+.・・+2q”T—（2"—l）g"=l+2（g+q2+・・・+/T）_（2n_l）g"=1+2^

4、（l~gnl）_„1—qs”2g（l-严）1TV（1莎2q811-9（l-q『（l-g『^（2/t-iy-1=limSZI=H=1"T°°cooo拆项法：为5=X（bn~bn-i）=hm（仇-％）=limbn-b（）.HT8/?—>oo/J=l?J=181求级数£]/：/、的和•n=lJ〃（〃+l）（M+>/〃+l）11II—S“+181£n=lJ〃（n+1）（石+J72+1）limSn=.〃T8递推法：是利用问题木身所具有的递推关系来求解问题的一种方法.81求级数工arctan―的和.h=i2rr11c112

5、S.=arctan—+arctan一=arctan<.=arctan—-28JJ_3~28g11121S,=arctan—+arctan一+arctan一=arctan—+arctan—32818211731«3=arctan」J?=arctan—1-2丄431818由数学归纳法可证：sy角•nlimSn=limarctan〃T8〃T8〃+]i兀arctan1二一，4”J“（〃+l）（侖+厶+1）VnJn+714oo工arctan?i=i2阿贝尔法⑵（即构造幕级数法〉若级数收敛，则£%=1曲5＞乂.由构造一个幕级

6、数才是?i=0n=0xt'?i=0w=0n=0很简单的，而幕级数的和函数可通过逐项微分或积分得到，故易得的和.7?=0例4级数£竺二的和./:=!2解令/W=Z^2w-2^W<^-n=厶之所以这样构造幕级数，是为了消去系数中的因子（2,2-1）.逐项积分£7(x)^=srn=2n-x2"心二jr1二Xxx22-x212上式两边对兀求导:/(x)二2+兀~（2-町3逐项微分法[2]由于幕函数在微分时可以产生一个常系数，这便为我们处理某些幕函数求和问题提供方法•当然从实质上讲，这是求和运算与求导（微分）运算交换次

7、序问题，因而应当心幕级数的收敛区间（对后面的逐项积分法亦如此）.例5级数V—的和函数S(x),其中lx<1.n=l斤("+1)8解z?:=]xfln(n+l)/?+1丿8Hooxnn+xn77+18noo令SiS)=£—,s2(x)=£n=l斤n=1z1，贝ijS](x)=£Zx=-ln(l-x);n=l1xo1X1811类似地S2(X)=—£——=——[ln(l-x)+x]=——ln(l-x)-l,X打=]AZI1XXS(x)=S、(x)-S2(%)=

8、—-1ln(l-x)+l.d丿有时候，所求级数的通项为另

9、一些函数的导数，而以这些函数为通项的级数易于求和，则可将这些函数逐项求导.例6求级数£(2斤+1)兀⑵⑷)的和函数，在区间(-1,1)内."=0OO8'(<解工(2〃+l)f"+"=x£(2n+l)x"=兀=X亍兀"+I/:=0n=0n=0;?=0丿F4>2”“=01-x2J兀(1+F)(1-兀2『4逐项积分法同逐项微分法一样，逐项积分法也是级数求和的一种重要方法，这里当然也是运用函数积分时产生的常系数，而使逐项积分后的新级数便于求和.例7求级数£(2斤+1)兀⑵呵的和函数，这儿

10、x

11、

12、£(2〃+1)+",卜

13、<1.n=08881+x2n=0"=0?1=0S(x)=£(2〃+1”刑=述(兀)J1+’“01-X5逐项微分、积分有时在同一个级数求和式中既需要逐项微分，又需要逐项积分,这往往是将一个级数求和问题化为两个级数求和问题才会遇到.8H2-4-1例8求级数工殳工:〃的和函数，这儿xvl.心H8力2.1oooo1解工乞工”=Y/u?,+Y-