资源描述：
《指数效用函数及其应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、指数效用函数及应用■严斌董进全maxu=l・exp(-beMarkowitz于1952年提出的投资组合理论(PortfolioSelection)为现代金融学的发展奠定了基础，因此被誉为现代投资学”的开端，它也标志了华尔街第一次数学革命的开始。半个多世纪以來，许多学者在Markowitz的均值一方丼投资组合模型的基础上做了大屋的理论研究，提出了不少的理论模型，其中最著名的是Sharpe的资木资产定价模型°不少学者利用非线性规划、凸规划以及数理统计等相关知识捉出均值一半方差模型、带Var约束的投资组合模型等等。一些学者还
2、利用效川函数对模型进行改进，并将此效用函数建立在收益一标准差平面中，称其为无差异曲线。每个投资者都拥有-•条无差界曲线來表示他对于预期回报率和标准差的偏好。在一条确雄的无差异曲线上所有组合对投资者来说,其提供的满意程度是相同的。木文通过综合考虑投资者对收益与风险的偏好，建立投资者的指数型效用函数，进而导出一个求解最优投资组合问题的非线性模型。实例计算表明效用函数的设立较为可行且模型可较方便地运用计算机进行求解。一、投资组合模型的有效前沿投资组合的构建就是选择纳入投资组合的证券并确定其适当的比例。Markowitz模型表
3、明，构建一个有效的投资纽合就是在给定的风险水平下形成一个具有最高收益率或在给定的收益率水平下形成一个具冇最小风险的投资组合。这样就构成了如下的两个规划问题(允许卖空的情况)：maxRp=X'Rmin=•K'EX=o2gpE其中,R=(ERhER2,LERA是期望收益率向虽:，2=(®)氏为收益率向呈R的协方差矩阵，分别表示给定的收益率水平及风险水平，而X=(X1,X2,L,Xn)T为组合投资比例向址。王春峰等人利用微分儿何方法给出了Markowitz模型的冇效前沿，即有效投资组合比例所满足的一组必要条件：&iXi+ai
4、2X?+L+amiXn.】=bi宙Xi+axX2+L+amix—二b?(I)#T$L卜3X2+L+an.2>ixo.i=bn.2其中,a=%+验普电nd+%r验兔抽MRrRnRn-rRn'b汙寻鲁+爭令，口，2,S-2,j=l,2,Ki-KnKn-1"KnL,n-1o二、综合考虑收益与风险的指数效用函数根据效用函数理论，对于某种’确定商品”或休定商品”，其效用的偏好关系可用称为规范性、单调性、无殊性的公理來刻画，并用Hz)表示效用函数，其中：表示该筒晶”的虽:。本文假定投资者笊效用函数是指数型的，具体形式为：u(z)=
5、1-e^,其中b表示投资者厌恶风险程度系数，z的取值范围为(0,+8)。对于一个投资组合通常用该组合的收益率来代表'商品”的呈的多少。考虑到投资组合应存在收益率与风险两方面的影响因素，本文综合地以收益率与风险共同表示悄i品”的戢。设有两个投资组合R和P2,其投资组合收益率与风险分别为:Rmopr和Rpi、Op?,显然若RP1>R,,2并且0p,22分别表示--个投资组合的期望收益率以及总风险方差表示无风险收益率(本文选用国债平均收益率)，我们选择投资组合
6、的'呈”为為片，它表示投资者承受一定风险所°p2带來的超额收益。以分别表示投资者自认为最理想状态(即效用鮫大)时的收益率和风险方差，则为使效用函数满足规范性，我们将投资组合的宣”修正为：如此，定义投资者的指数型效用函Rp-Ri数为：u=1-exp(-b-Op~)(1)易见，当RpfR时投资者的效川趋于0,即当投资者获得的收益率仅为无风险收益时认为其投资效用为0:而当盘異f鱼吳时，投资者效用趋于1,V%即当投资者在承受一定风险所带來的超额收益达到他认为最理想的状态时.其投资效用为1。三、无差异曲线与最优投资组合模型选择投
7、资组合是一种使投资者效托最大化的活动。如上所述，效用前数可表示为收益率与风险的函数，以效用值为参数，则可在风险一收益率平面屮绘出一族等效用曲线，这里称之为无差异it线。设投资者效用函数如表达式(1).贝!可得以u为参数的效用无差界曲线族：R十册冷•時异⑵在有效刖沿和效用无差异曲线的表达式都给出的情况下,如何求解最优找资组合比例的问题可化为如何求解有芬前沿和无差异曲线的切点问题。本文则将此问题的求解转化为如下的一个非线性最优化模型：Rp»RrR(rRfRp・Rf)-q?~%X]+a门X2+L+ahlhlxn.l=b1$X
8、]+a22X?+L+ain-]Xn-I=b2$LS・t・*^ziXi+an.2X2+L+a“2nix“=b»2其中，Rp=XR昭二灯1xFay(i二12L,n・2Rj=l,2,L,n-l),bj(j=l,2,L,n-1)的取值与Q)式中相同。在目前计算机强大的计算功能的支持下，对一般规模的此类问题的求解可基国家自然科学基金项冃(1
